Arbeit und Energie

Arbeit wird verrichtet, wenn eine Kraft $\vec{F}$ aufgebracht wird, um ein Teilchen von $\vec{r}_1$ nach $\vec{r}_2$ zu bringen. Wenn die Kraft konstant ist, ist die Arbeit,

$$W = \vec{F}\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)=\vec{F}\cdot\Delta\vec{r}.$$

Die Einheit der Arbeit ist Joule, J = Nm. Dies ist die Einheit der Energie.

Oft ändern sich die Kräfte, wenn ein Teilchen bewegt wird. Dann schreibt man die Arbeit als Integral,

\[ \begin{equation} W = \int\limits_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\vec{F}\cdot d\vec{r}\hspace{1cm}\text{[J]}. \end{equation} \]

Das Integral kann als eine Summe vieler kleiner Verschiebungen $d\vec{r}$ gesehen werden. Für jede kleine Verschiebung ist die Kraft quasi konstant, also ist die verrichtete Arbeit $dW = \vec{F}\cdot d\vec{r}= F_xdx + F_ydy + F_zdz$. Der Ausdruck für die Arbeit kann in seine drei Komponenten aufgeteilt werden,

\[ \begin{equation} W = \int\limits_{x_1}^{x_2}F_x dx + \int\limits_{y_1}^{y_2}F_y dy+\int\limits_{z_1}^{z_2}F_z dz\hspace{1cm}\text{[J]}. \end{equation} \]

Beispiel 1

Stellen Sie sich eine lineare Feder vor. Die Kraft, die gebraucht wird, um eine lineare Feder zusammenzudrücken, hängt davon ab, wie weit sie bereits zusammengedrückt wurde $F = kx$. Die benötigte Arbeit um die Feder von $x=0$ nach $x=x_1$ zu komprimieren ist,

$$W = \int\limits_0^{x_1} kxdx= \frac{kx_1^2}{2}.$$

Die Bewegung ist eine reine Bewegung in $x$-Richtung, daher sind die Integrale nach $y$ und $z$ gleich Null.


Beispiel 2

Die Kraft, um eine bestimmte nichtlineare Feder zusammenzudrücken, ist $F = kx^3$. Die Arbeit, um eine Feder von $x=0$ bis $x=x_1$ zusammenzudrücken, ist,

$$W = \int\limits_{0}^{x_1} kx^3 dx= \frac{kx_1^4}{4}.$$

Beispiel 3

Die Kraft um ein Teilchen mit der Ladung $q$ in einem elektrischen Feld zu bewegen ist $\vec{E}$ is $\vec{F} = -q\vec{E}$. Die Arbeit die benötigt wird um dieses Teilchen von $x=0$ nach $x=x_1$ zu bringen ist,

$$W = \int\limits_{0}^{x_1} -qE_x dx= -qE_xx_1.$$

Das nachfolgende Feld integriert eine Kraft in einer Dimension. Das Programm kann nacheinander für die Berechnung der Bewegung in jede Richtung $x$, $y$ und $z$ verwendet werden.

$F_x(x)=$  [N]
im Bereich von $x_1=$  [m] bis $x_2=$  [m].

 $x$ [m]    $F_x$ [N]

  

$F_x$ [N]

$x$ [m]

Arbeit ist das Integral der Kraft,

$$W = \int\limits_{x_1}^{x_2}F_x dx +W(x_1).$$

Die App berechnet die Arbeit die benötigt wird um von $x_1$ nach $x_2$ zu gelangen. Wenn bereits Arbeit verrichtet worden ist, um nach $x_1$ zu gelangen, kann diese als Integrationskonstante addiert werden.

$W(x_1)=$

Das Integral wird numerisch berechnet mithilfe der Simpsonregel.

 $x$ [m]   $W$ [J]

  

$W$ [J]

$x$ [m]

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