Leistung

Die Leistung $P$ ist die Arbeit die pro Zeiteinheit geleistet wurde,

$$ P = \frac{dW}{dt}\hspace{1cm}\text{[W]}.$$

die Einheit der Leistung ist Watt, W = J/s. Im letzten Abschnitt haben wir gezeigt, dass

$$W = \int\limits_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\cdot \vec{v}(t)dt.$$

Wir differenzieren beide Seiten und sehen, dass die Leistung auch ausgedrückt werden kann als,

$$P = \vec{F}(t)\cdot \vec{v}(t).$$

Beispiel

Denken Sie sich ein gedämpftes Massen-Feder-System, welches sich entlang der $x$-Achse bewegt. Eine Masse von 1 kg hängt an einer linearen Feder $F_{\text{spring}}= -kx$ und es wirkt eine Reibungskraft in die entgegengesetzte Richtung der Geschwindigkeit, $F_{\text{drag}}= -0.4v_x$. Der Masse wird eine Anfangsgeschwindigkeit in die positive $x$-Richtung gegeben, während die Startposition $x=0$ ist und die Feder unkomprimiert ist. Die Bahnkurve ist,

$$x(t)= e^{-0.2t}\sin(t).$$

Die Geschwindigkeit ist,

$$v_x(t)= e^{-0.2t}\left( \cos(t) - 0.2\sin(t)\right).$$

Bei $t=0$ ist die Anfangsgeschwindigkeit $v_x = 1$.

Die Beschleunigung ist,

$$a_x(t)= -e^{-0.2t}\left( 0.96\sin(t) + 0.4\cos(t)\right).$$

Da $m=1$ kg, ist die Kraft $F_x= -e^{-0.2t}\left( 0.96\sin(t) + 0.4\cos(t)\right) = -kx -0.4v_x$. Da $x$ und $v_x$ bekannt sind, können wir die Gleichung für die Federkonstante $k= 1.04$ N/m lösen.

Die Leistung, die von der Feder zur Verfügung gestellt wird, ist $F_{\text{spring}}v_x = -kxv_x = -1.04e^{-0.4t}\sin(t)\left(\cos(t)-0.2\sin(t)\right)$.

Wir sehen hier, dass die Leistung erst negativ und anschließend positiv ist. Anfangs wird die Feder von der bewegten Masse komprimiert. Die Leistung ist negativ, wenn Energie in der Feder gespeichert wird. Später, wenn die Feder auseinander gezogen wird und die kinetische Energie der Masse erhöht wird, ist die verursachte Leistung der Feder positiv. Die Arbeit, die die Feder leistet, sieht man in der Grafik unterhalb. Wenn die Schwingungen ausgeklungen sind, ist die absolute Arbeit die die Feder leistet gleich Null. Es kann keine Nettoarbeit von einer anfangs unkomprimierten Feder geleistet und keine Energie in der Feder gespeichert werden, wenn die Schwingungen ausgeklungen sind.

Als nächstes betrachten wir die Leistung und Arbeit von der Reibungskraft, $F_{\text{drag}}= -0.4v_x= -0.4e^{-0.2t}\left( \cos(t) - 0.2\sin(t)\right)$. Die Leistung dieser Kraft ist $P= -0.4v_x^2= -0.4e^{-0.4t}\left( \cos(t) - 0.2\sin(t)\right)^2$. Diese Leistung ist immer negativ. Die Reibungskraft gibt der Masse nie Energie, sie entzieht ihr diese immer. Die Arbeit, die von der Reibungskraft geleistet wird sehen Sie hier:

Nachdem die Schwingungen abgeklungen sind, hat die Reibungskraft -0.5 J Arbeit geleistet. Das ist gleich der kinetischen Anfangsenergie der Masse, $\frac{1}{2}mv_x^2 = 0.5$ J.

$P=$  [W]
in the range from $t_1=$  [s] to $t_2=$  [s].

 $t$   $P$ [W]

  

$P$ [W]

$t$ [s]

Die Arbeit ist,

$W=\int\limits_{t_1}^{t_2} P dt +W(t_1)$.

Hier ist $W(t_1)$ die Integrationskonstante. Sie ist die Arbeit, die geleistet wurde vor der Zeit $t_1$.

$W(t_1)=$

 $t$ [s]  $W(t)$ [J]
  

$W$ [J]

$t$ [s]

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