Gradient

Ein Skalarfeld ist eine Funktion, die jeder Position des Raumes eine Zahl zuordnet. Temperatur, Druck, Dichte, Stoffmengenkonzentration, Ladungsdichte und potentielle Energie sind Skalarfelder. Analog ist ein Vektorfeld eine Funktion, die jeder Position im Raum einen Vektor zuordnet. Elektrische Felder und Magnetfelder sind Vektorfelder. Denken Sie sich ein Skalarfeld $\phi(x,y,z)$. Der Gradient dieses Skalarfeldes ist definiert als,

$$ \nabla \phi = \frac{\partial \phi }{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial \phi }{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial \phi }{\partial z}\hat{z}.$$

Der Gradient eines Skalarfeldes ist ein Vektorfeld. Wenn das Skalarfeld eine topografische Karte ist, die die Höhe an jedem Punkt darstellt, zeigt der Gradient an jedem Punkt in die Richtung mit der größten Steigung. Wenn das Skalarfeld der Druck ist, zeigt minus der Gradient in die Richtung in die der Wind bläst. Ist das Skalarfeld die Temperatur, zeigt minus der Gradient in die Richtung in die die Hitze sich bewegt. Wenn das Skalarfeld die potentielle Energie ist, ist minus der Gradient die Kraft.


Beispiel 1

Die potentielle Energie der Gravitation ist,

$$E_{pot} =- \frac{Gm_1m_2}{r},$$ $$E_{pot} =- \frac{Gm_1m_2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},$$ $$-\nabla E_{pot} = -\frac{Gm_1m_2}{\left( x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}\left(x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}\right).$$

Die Kraft ist,

$$-\nabla E_{pot} = \vec{F} = -\frac{Gm_1m_2}{r^2}\hat{r}.$$

Beispiel 2

Die potentielle Coulombenergie ist,

$$E_{pot} = \frac{q_1q_2}{4\pi \epsilon_0 r},$$ $$E_{pot} =\frac{q_1q_2}{4\pi \epsilon_0\sqrt{x^2+y^2+z^2}},$$ $$-\nabla E_{pot} = \frac{q_1q_2}{4\pi \epsilon_0\left( x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}\left(x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}\right).$$

Die Kraft ist,

$$-\nabla E_{pot} = \vec{F} = \frac{q_1q_2}{4\pi \epsilon_0r^2}\hat{r}.$$

Beispiel 3

Die potentielle Energie, die in einer linearen Feder gespeichert ist, ist

$$E_{pot} = \frac{kx^2}{2}.$$

Die Kraft ist,

$$-\nabla E_{pot} = \vec{F} = -kx.$$
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