Interferenz an zwei schmalen Spalten

Wenn wir uns die beiden Spalten von weiter weg ansehen, können wir das Interferenzmuster im Fernfeld betrachten. In bestimmten Richtungen kann man konstruktive, in anderen Richtungen destruktive Interferenz beobachten.

Die Interferenz kann berechnet werden bei der Entfernung $L$ von den Spalten und bei einer Höhe $y$ vom Zentrum der Spalte. Der Weg, den die Welle vom oberen Spalt zu diesem Punkt zurücklegt, ist $r_1$, der Weg vom unteren Spalt bis zum Punkt ist $r_2$. Die Differenz zwischen diesen Abständen ist der schmale rote Bereich $r_2-r_1=d\sin\theta$, wobei $d$ der Abstand zwischen den beiden Spalten ist und $\theta \approx \frac{y}{L}$.

Es entsteht konstruktive Interferenz, wenn $r_2-r_1$ eine ganzzahlige Anzahl von Wellenlängen ist, und destruktive Interferenz, wenn $r_2-r_1$ eine ganzzahlige Anzahl von Wellenlängen plus eine halbe Wellenlänge ist.

Im Fernfeld: $L >> d,\,\lambda$

Konstruktive Interferenz $r_2-r_2=d\sin\theta \approx\frac{dy}{L}=n\lambda$  $n\in$ Ganzzahlen

Destruktive Interferenz $r_2-r_2=d\sin\theta \approx\frac{dy}{L}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda$  $n\in$ Ganzzahlen

Erläuterung der Simulation: Ein Wellenzug der Ausdehnung von 15 Wellenlängen trifft auf eine Barriere und wird an ihr reflektiert. In der Barriere befinden sich zwei schmale Spalten der gleichen Breite $a$, welche viel kleiner als die Wellenlänge der Wellen ist. Kreisförmige Elementarwellen werden vom Spalt ausgestrahlt. Links der Barriere interferiert die reflektierte, links laufende Welle mit der ankommenden, rechts laufenden Welle und mit den zwei Elementarwellen, die an den Spalten entstehen.

Das Interferenzmuster links der Barriere wird beschrieben durch die Überlagerung der nach rechts laufenden und der nach links laufenden Welle, sowie der zwei kreisförmigen Elementarwellen von den Spalten.

$$z = -H(\xi_R+30\pi)\sin(\xi_R)H(-\xi_R) -H(\xi_L+30\pi)\sin(\xi_L)H(-\xi_L) +H(\xi_{c1}+30\pi)\frac{\sin(\xi_{c1})}{\sqrt{r_1}}H(-\xi_{c1})+H(\xi_{c2}+30\pi)\frac{\sin(\xi_{c2})}{\sqrt{r_2}}H(-\xi_{c2}),$$

wobei $k$ die Wellenzahl, $\omega$ die Winkelfrequenz, $r_1 = \sqrt{(x-L/2)^2+(y-0.45L)^2}$ der Abstand vom Spalt 1 und $r_2=\sqrt{(x-L/2)^2+(y-0.55L)^2}$ der Abstand vom Spalt 2 ist. Weiterhin ist, $\xi_R = kx -\omega t$, $\xi_L = 30\pi-kx -\omega t$, $L=15\lambda=30\pi/k$ die Ausdehnung des Wellenzuges, $\xi_{c1} = kr_1-\omega\left(t-\frac{L}{2}\frac{k}{\omega}\right)$, $\xi_{c2} = kr_2-\omega\left(t-\frac{L}{2}\frac{k}{\omega}\right)$, und $H(x)$ die Heaviside Funktion.

Die kreisförmigen Wellen auf der rechten Seite der Barriere werden beschrieben mit

$$z = -H(\xi_{c1}+30\pi)\frac{\sin(\xi_{c1})}{\sqrt{r_1}}H(-\xi_{c1})-H(\xi_{c2}+30\pi)\frac{\sin(\xi_{c2})}{\sqrt{r_2}}H(-\xi_{c2}).$$