Intensität vieler interferierender Punktquellen

Die Verschiebung $u$ an der Position $\vec{r}$ verursacht von $N$ Spalten an den Positionen $\vec{r}_j$ ist,

$$u = \sum\limits_{j=1}^N \frac{A}{\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_j|}}\cos (k|\vec{r}-\vec{r}_j|-\omega t )$$

Wobei hier $|\vec{r}-\vec{r}_j|$ die Entfernung vom Spalt $j$ ist. Die Wellenzahl $k$ ist abhängig von der Wellenlänge $\lambda$ mit $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ und die Winkelfrequenz $\omega$ hängt von der Periode $T$ ab mit $\omega=\frac{2\pi}{T}$. Denken Sie sich den Fall, indem die Spalten gleichmä├čig verteilt in einem Interval $a$ liegen, welche von den kleinen blauen Punkten auf der linken Seite des Intensitätsbildes angedeutet werden.

Wenn Sie einen Punkt herausgreifen, sehen Sie wie eine einfache harmonische Bewegung mit einer gewissen Amplitude ausgeführt wird. Die einfache harmonische Bewegung ist der Realteil der Kreisbewegung in der komplexen Ebene. Ausgedrückt in komplexer Form lauten die Oszillationen:

$$ \sum \limits_{j=1}^N \frac{A_j}{\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_j|}} e^{ i(k|\vec{r}-\vec{r}_j|-\omega t +\phi_j)} = \left( \sum \limits_{j=1}^N \frac{A_j}{\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_j|}} e^{ i(k|\vec{r}-\vec{r}_j| +\phi_j)}\right)e^{-i\omega t}.$$

Die rechte Seite dieser Gleichung beschreibt einen Phasor, der sich auf einem Kreis in der komplexen Ebene mit einer Amplitude $A$ bewegt:

$$ A= \sum \limits_{j=1}^N \frac{A_j}{\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_j|}} e^{ i(k|\vec{r}-\vec{r}_j| +\phi_j)}.$$

Die Intensität ist das Quadrat der Amplitude,

$$ I \propto A^*A = \left(\sum \limits_{j=1}^N \frac{A_j}{\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_j|}} \cos(k|\vec{r}-\vec{r}_j|+\phi_j)\right)^2+\left(\sum \limits_{j=1}^N \frac{A_j}{\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_j|}} \sin(k|\vec{r}-\vec{r}_j|+\phi_j)\right)^2.$$

Die folgende Animation stellt den Logarithmus der Intensität der Wellen als Funktion der Position dar.

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$N=$ 2

$\lambda=$ 0.3 [cm]

$a=$ 1 [cm]

$P_x=$ 2.8 [cm]

$P_y=$ 3.2 [cm]

Im Intensitätsmuster sieht man einen roten Punkt mit den Koordinaten $P_x$ und $P_y$. Links vom Intensitätsmuster ist eine Darstellung der harmonischen Oszillation an diesem roten Punkt in der komplexen Ebene. Die blauen Phasoren stellen die harmonische Bewegung dar, die durch die sich von den Spalten ausbreitenden Wellen verursacht wird. Der rote Phasor ist die Summe der blauen. Der Realteil des roten Phasors ist die Bewegung, die am roten Punkt beobachtet wird.

Falls die Spalten näher aneinander sind als eine Wellenlänge, erzeugt die Interferenz einen Strahl der horizontal von den Spalten ausgeht.