Schwingfall einer gedämpften, getriebenen Schwingung

Eine gedämpfte, getriebene Schwingung wird durch die Gleichung beschrieben

\[\begin{equation} \label{eq:e1} m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt} + kx = F_0\cos(\Omega t). \end{equation}\]

Wenn $b^2-4km < 0$ ist, ist das System unterdämpft und die Lösung ist die Summe aus der homogenen Lösung und der speziellen Lösung. Die spezielle Lösung ist,

$$x_p(t) = \frac{F_0}{\rho}\cos (\Omega t -\theta),$$

wo

$$\rho = \sqrt{(k-m\Omega^2)^2+\Omega^2b^2}\hspace{1cm}\text{und}\hspace{1cm} \tan\theta = \frac{\Omega b}{k-m\Omega^2}.$$

Diese spezielle Lösung wurde in der Diskussion der Resonanz des gedämpften angetriebenen Oszillator abgeleitet. Dass dies eine Lösung ist, kann durch zweimaliges Differenzieren und Einsetzen in die Differentialgleichung \eqref{eq:e1} gezeigt werden. Die homogenen Lösungen lösen die Differentialgleichung,

\[\begin{equation} \label{eq:e2} m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0. \end{equation}\]

Die homogenen Lösungen haben die Form,

$$x_h(t) = \exp \left(-t/\tau\right)\left(C_1\cos (\omega t) + C_2\sin(\omega t)\right).$$

wo $$\omega=\frac{\sqrt{4mk-b^2}}{2m}\qquad\text{and}\qquad\tau=\frac{2m}{b}.$$

Die homogenen Lösungen lösen Gl. \eqref{eq:e2} für jeden Wert von $C_1$ und $C_2$, wie durch Einsetzen der homogenen Lösung in die Differentialgleichung \eqref{eq:e2} demonstriert werden kann. Die Gesamtlösung ist,

$$x(t) = \exp \left(-t/\tau\right)\left(C_1\cos (\omega t) + C_2\sin(\omega t)\right) + \frac{F_0}{\rho}\cos (\Omega t -\theta),\\ v(t)= -\frac{\exp \left(-t/\tau\right)}{\tau}\exp \left(-t/\tau\right)\left(C_1\cos (\omega t) + C_2\sin(\omega t)\right)+\exp \left(-t/\tau\right)\left(- C_1\omega\sin (\omega t) + C_2\omega\cos(\omega t)\right) - \frac{\Omega F_0}{\rho}\sin (\Omega t -\theta).$$

Die Konstanten $C_1$ und $C_2$ lassen sich aus den Anfangsbedingungen bestimmen: $x_0$ ist die Position bei $t=0$ und $v_{x0}$ ist die Geschwindigkeit bei $t=0$.

$$C_1 = x_0 - \frac{F_0}{\rho}\cos ( \theta), \qquad C_2 = \frac{v_{x0}}{\omega}+ \frac{x_0}{\omega \tau} - \frac{F_0}{\rho\omega\tau}\cos ( \theta)-\frac{F_0\Omega}{\rho\omega}\sin ( \theta).$$

$x$

$t$

$v_x$

$t$

$m=$ 1 [kg]

$F_0=$ 1 [N]

$b/\sqrt{4km}=$ 0.1 

$\omega=$ 1 [rad/s]

$k=$ 1 [N/m]

$x_0=$ 1 [m]

$\omega=$ rad/s, $\tau=$ s, $\rho=$ N/m, $\theta=$ rad, $b=$ N s/m.

$v_{x0}=$ 1 [m/s]

 $t$ [s] $x$ [m] $v_x$ [m/s]