 | Physik für Geodäsie 511.018 / Physik M 513.805 |
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Reine ResonanzWird ein ungedämpfter Schwingung mit seiner Resonanzfrequenz $\Omega = \omega = \sqrt{k/m}$ getrieben, so wächst die Lösung kontinuierlich mit der Zeit. Dies wird als reine Resonanz bezeichnet. Die Differentialgleichung, die eine reine Resonanz beschreibt, lautet \[\begin{equation} \label{eq:e1} m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = F_0\cos(\Omega t). \end{equation}\]Die Lösung ist die Summe aus der homogenen Lösung und der speziellen Lösung. Die spezielle Lösung ist, $$x_p(t) = \frac{F_0}{2\Omega m}t\sin (\Omega t).$$Wir können zeigen, dass dies eine Lösung ist, indem wir zweimal differenzieren und in die Differentialgleichung \eqref{eq:e1} einsetzen. $$\frac{dx_p}{dt} = \frac{F_0}{2\Omega m}\sin (\Omega t)+\frac{F_0}{2 m}t\cos (\Omega t).$$ $$\frac{d^2x_p}{dt^2} = \frac{F_0}{2 m}\cos (\Omega t)+\frac{F_0}{2 m}\cos (\Omega t)-\frac{\Omega F_0}{2 m}t\sin (\Omega t).$$Da $k/m = \Omega^2$, löst $x_p$ Gl. \eqref{eq:e1}. Die homogenen Lösungen lösen die Differentialgleichung, \[\begin{equation} \label{eq:e2} m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0. \end{equation}\]Die homogenen Lösungen sind, $$x_h(t) = C_1\cos (\omega t) +C_2\sin (\omega t),$$wobei $\omega = \sqrt{k/m}$. Die homogenen Lösungen lösen Gl. \eqref{eq:e2} für jeden Wert von $C_1$ und $C_2$, wie durch Einsetzen der homogenen Lösung in die Differentialgleichung \eqref{eq:e2} demonstriert werden kann. Die Gesamtlösung ist $$x(t) = C_1\cos (\omega t) +C_2\sin (\omega t)+\frac{F_0}{2\Omega m}t\sin (\Omega t).$$Die Konstanten $C_1$ und $C_2$ lassen sich aus den Anfangsbedingungen bestimmen: $x_0$ ist die Position bei $t=0$ und $v_{x0}$ ist die Geschwindigkeit bei $t=0$. Praktischerweise sind $x_p(t=0) = 0$ und $\frac{dx_p}{dt}(t=0) = 0$, sodass die $C_1$ und $C_2$ leicht ausgewertet werden können und die Lösung lautet: $$\bbox[10px, border: 1px solid black]{x(t) = x_0\cos (\omega t) +\frac{v_{x0}}{\omega}\sin (\omega t)+\frac{F_0}{2\Omega m}t\sin (\Omega t).}$$
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