Chaotische Lösungen des angeregten Pendels

Manche Differentialgleichungen besitzen analytische Lösungen die durch Therme einfacher Funktionen wie $\sin(t)$ oder $\exp(t)$ ausgedrückt werden können. Die Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen können üblicherweise nur sehr schwer numerisch ausgedrückt werden, allerdings kann manchmal ein analytischer Ausdruck für eine Näherungslösung gefunden werden. Es gibt jedoch manche Differentialgleichungen die ein chaotisches Lösungsverhalten aufweisen. Für eine chaotische Lösung ist es nicht möglich einen analytischen Ausdruck zu finden. Ein System das solche chaotischen Lösungen besitzt ist das angetriebene Pendel.

Folgende Differentialgleichung welche die Bewegung des Pendels beschreibt, kann normalisiert geschrieben werden als, [Fitzpatrick 2006],

\[ \begin{equation} \large \frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{1}{q}\frac{d\theta}{dt}+\sin(\theta)=A\cos(\omega t), \end{equation} \]

hier beschreibt $q$ die Dämpfung, $A$ beschreibt das Drehmoment, das für das Antreiben des Pendels mit Frequenz $\omega$ verwendet wird und $\theta$ ist der von der Vertikalen gemessene Winkel. Bei $\theta=0$ hängt das Pendel nach unten und bei $\theta=\pi$ steht das Pendel aufrecht nach oben. Die linke Abbildung zeigt eine Simulation des angetriebenen Pendels. Die mittlere Abbildung ist eine Darstellung des Phasenraumes (Phasenportrait), wobei hier $\sin\theta$ horizontal und $\frac{d\theta}{dt}$ vertikal aufgetragen wird. Die rechte Abbildung ist die Poincaré map. Ein roter Punkt bei $(\sin\theta,\frac{d\theta}{dt})$ wird jedes mal in die Poincaré map gezeichnet wenn $\omega t = 2\pi n$ ist, wobei $n$ eine ganze Zahl ist.

Simulation

Phase Portrait

Poincaré map

Your browser does not support the canvas element.

$q$

2

$A$

1.15

$\omega$

0.67

Für die Parameter $q=2$ und $\omega=0.67$:

  • Bei , eine stationäre Lösung für $\theta=0$ tritt auf. Warten Sie den Einschwingvorgang ab und drücken Sie dann auf 'Clear all'. Das Phasenportrait ist dann ein einfacher Punkt und die Poincaré map ist ebenso ein einfacher Punkt.
  • Bei , eine periodische Lösung mit der gleichen Periode wie die treibende Kraft tritt auf. Warten Sie den Einschwingvorgang ab und drücken Sie dann auf 'Clear all'. Die Poincaré map ist eine einfacher Punkt.
  • Bei , hier existieren zwei Lösungen mit gebrochener Symmetrie. Beide haben die gleiche Periode wie die des Antriebs. Starten Sie mit anderen Anfangsbedingungen (Ändern Sie $A$ zu einem großen Wert und dann wieder zurück zu $A=1.04$). Warten Sie den Einschwingvorgang ab und drücken Sie dann auf 'Clear all'.
  • Bei , hier gibt es periodenverdoppelte Lösungen mit einer Periodendauer die doppelt so lange ist, wie die die Antriebsfrequenz. Seien Sie geduldig, warten den Einschwingvorgang ab und drücken dann auf 'Clear all'.
  • Bei , hier gibt es chaotische Lösungen, die sich nie wiederholen. Wenn Sie eine lange Zeit abwarten, wird die Poincaré map selbstähnliche Struktur. Das nennt man einen seltsamen Attraktor.