Kriechfall einer gedämpften, getriebenen Schwingung

Eine gedämpfte, getriebene Schwingung wird durch die Gleichung beschrieben,

\[\begin{equation} \label{eq:e1} m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt} + kx = F_0\cos(\Omega t). \end{equation}\]

Wenn $b^2-4km > 0$ ist, ist das System überdämpft und die Lösung ist die Summe aus der homogenen Lösung und der speziellen Lösung. Die spezielle Lösung ist,

$$x_p(t) = \frac{F_0}{\rho}\cos (\Omega t -\theta),$$

wo

$$\rho = \sqrt{(k-m\Omega^2)^2+\Omega^2b^2}\hspace{1cm}\text{and}\hspace{1cm} \tan\theta = \frac{\Omega b}{k-m\Omega^2}.$$

Diese spezielle Lösung wurde in der Diskussion der Resonanz des gedämpften angetriebenen Oszillator abgeleitet. Dass dies eine Lösung ist, kann durch zweimaliges Differenzieren und Einsetzen in die Differentialgleichung \eqref{eq:e1} gezeigt werden. Die homogenen Lösungen lösen die Differentialgleichung,

\[\begin{equation} \label{eq:e2} m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0. \end{equation}\]

Die homogenen Lösungen haben die Form,

$$x(t) = C_1 \exp \left(- t/\tau_1\right)+ C_2 \exp \left(- t/\tau_2\right),$$

wo

$$ \tau_1 = \frac{2m}{b-\sqrt{b^2-4km}},\qquad\tau_2 = \frac{2m}{b+\sqrt{b^2-4km}}.$$

Die homogenen Lösungen lösen Gl. \eqref{eq:e2} für jeden Wert von $C_1$ und $C_2$, wie durch Einsetzen der homogenen Lösung in die Differentialgleichung \eqref{eq:e2} demonstriert werden kann. Die Gesamtlösung ist,

$$x(t) = C_1 \exp \left(- t/\tau_1\right)+ C_2 \exp \left(- t/\tau_2\right) + \frac{F_0}{\rho}\cos (\Omega t -\theta).$$

Die Konstanten $C_1$ und $C_2$ lassen sich aus den Anfangsbedingungen bestimmen: $x_0$ ist die Position bei $t=0$ und $v_{x0}$ ist die Geschwindigkeit bei $t=0$.

$$C_1 = \frac{\tau_1}{\tau_1-\tau_2}\left(\tau_2v_{x0} +x_0 - \frac{\tau_2\Omega F_0}{\rho}\sin (\theta)-\frac{F_0}{\rho}\cos (\theta)\right),$$ $$C_2 = \frac{\tau_2}{\tau_2-\tau_1}\left(\tau_1v_{x0} +x_0 - \frac{\tau_1\Omega F_0}{\rho}\sin (\theta)-\frac{F_0}{\rho}\cos (\theta)\right).$$

$x$

$t$

$v_x$

$t$

$m=$ 1 [kg]

$F_0=$ 1 [N]

$b/\sqrt{4km}=$ 1 

$\Omega=$ 1 [rad/s]

$k=$ 1 [N/m]

$x_0=$ 1 [m]

$\tau_1=$ s, $\tau_2=$ s, $\rho=$ N/m, $\theta=$ rad $b=$ N s/m

$v_{x0}=$ 1 [m/s]

 $t$ [s] $x$ [m] $v_x$ [m/s]