Schwingungen

In diesem Abschnitt zu Oszillationen werden zuerst ein paar verschiedene Oszillationstypen mit dem Differentialgleichungsrechner betrachtet. Anschließend werden die mathematischen Details einer Resonanz beschrieben. Die einfache harmonische Bewegung ist bereits im Bewegungsabschnitt diskutiert worden. Die folgende Differentialgleichung beschreibt die harmonische Bewegung:

$$ m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0.$$

Hier beschreibt $m$ [kg] die Masse und $k$ [N/m] die Federkonstante. Der Ausdruck ist lediglich eine Umschreibung des zweiten Newtonschen Gesetzes: Masse mal Beschleunigung ergibt die Federkraft. Wird eine dämpfende Kraft hinzugefügt, verändert sich die Differentialgleichung folgendermaßen:

$$ m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt} + kx = 0.$$

Hier beschreibt $b$ [N s/m] die Dämpfungskonstante - die dämpfende Kraft ist proportional der Geschwindigkeit. Der Lösungstyp ist abhängig davon, wie groß die Dämpfungskonstante $b$ ist. Die Dämpfung verringert die Oszillationsfrequenz bis zur kritischen Dämpfung, bei welcher keine Oszillationen mehr vortreten und nur mehr exponentielle Dämpfung stattfindet (im Gegensatz zur linearen). Es können die folgenden vier Fälle auftreten:

  • $b = 0$: ungedämpfter Oszillator, $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.$ rad/s.
  • $4mk - b^2 > 0$: Schwingfall, $\omega=\frac{\sqrt{4mk-b^2}}{2m}$ rad/s.
  • $4mk - b^2 = 0$: kritische Dämpfung (auch aperiodischer Grenzfall genannt), $\omega=0$ rad/s.
  • $4mk - b^2 < 0$: überdämpfter Oszillator (auch Kriechfall genannt), $\omega=0$ rad/s.

Kriechfall

Schwingfall