Resonanz: Gedämpftes angetriebenes Masse-Feder-System

Eine Masse $m$ ist an einer linearen Feder mit der Federkonstante $k$ befestigt. Auf die Masse wirkt eine Reibungskraft in entgegengesetze Richtung der Geschwindigkeit $F_{\text{drag}}=-bv_x$ (sei $b$ der Reibungskoeffizient). Das System wird durch eine periodische Antriebskraft $F_0\cos(\Omega t)$ angetrieben. Die folgende Differentialgleichung beschreibt die Bewegung:

\[ \begin{equation} m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt}+kx=F_0\cos(\Omega t). \end{equation} \]

$m=$ 1 [kg]

$b=$ 0.2 [kg/s]

$k=$ 0.9 [N/m]

$F_0=$ 0.1 [N]

$\Omega=$ 1 [rad/s]

Die Resonanzfrequenz ist $\omega=\sqrt{k/m-b^2/4m^2}=$ 0.943 rad/s. Die maximale Auswirkung folgt aus der Gleichheit der Treiber- und Resonanzfrequenz. Die Amplitude der daraus resultierenden Schwingungen (im Gleichgewichtszustand) ist $F_0/\sqrt{(k-m\Omega^2)^2+\Omega^2b^2}=$ 0.447 m.

   

 Numerical 2nd order differential equation solver 

$ \large \frac{dx}{dt}=$

$v_x$

$ \large a_x=\frac{F_x}{m}=\frac{dv_x}{dt}=$

Intitial conditions: 

$x(t_0)=$

 

$\Delta t=$

$v_x(t_0)=$

 

$N_{steps}$

$t_0=$

 

Plot:

vs.

 

 $t$       $x$      $v_x$