Gedämpfte Federschwingung

Wir haben bereits betrachtet, dass ein gedämpftes Massen-Feder-System oszillierende Lösungen besitzt und dass manchmal exponentiell abfallende Lösungen auftreten. Um analytische Lösungen zu finden, ist anzunehmen dass eine Lösung der Form $x(t)=Ce^{\lambda t}$ existiert, wobei $C$ und $\lambda$ Konstanten sind. Diese Lösung kann in die Differentialgleichung eingefügt werden und es kann durch Ableiten eine algebraische Gleichung von $\lambda$ gefunden werden. Bei reellem $\lambda$ handelt es sich um eine rein exponentiell abfallende Lösung ohne Oszillationen. Ist $\lambda$ jedoch komplex, gilt für die Lösungen: $x(t)=Ce^{\text{Re}(\lambda)t+i\text{Im}(\lambda)t}$. Mithilfe der Eulerschen Gleichung kann dieses zu $x(t)=Ce^{\text{Re}(\lambda)t}(\cos(\text{Im}(\lambda)t+i\sin(\text{Im}(\lambda)t)$ umgeschrieben werden. Für komplexe $\lambda$ enthält die Lösung Oszillationsanteile. Der folgender Rechner löst Differentialgleichungen. Lösungen für den ungedämpften Oszillator, Schwingfall, aperiodischen Grenzfall und Kriechfall können durch Wählen der Parameter $m$, $b$ und $k$ bestimmt werden.

Ein Objekt mit der Masse $m$ ist mit einer Feder mit Federkonstante $k$ verbunden. Die Feder wird 2 cm von ihrer Ruheposition ausgelenkt. Wenn die Feder versucht sich wieder in ihre Ruheposition zurück zu Bewegen wirkt auf die Masse eine Reibungskraft, die der Bewegungsrichtung entgegensetzt ist: $F_{\text{drag}}=-bv_x$. Mit $b$ der Reibungskonstante. Wir nehmen dabei an, dass sich das Objekt entlang der $x$-Achse bewegt. Die Bewegung des Objekts kann dabei mit folgender Differentialgleichung zweiter Ordnung beschrieben werden: $m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt}+kx=0$. Sie können diese Gleichung mit dem Programm unten lösen.

 Lösung Differentialgleichung zweiter Ordnung 

\( \large m\frac{d^2x}{dt^2}+ b\frac{dx}{dt}+kx = F_0, \)

$m=$

$b=$

$k=$

$F_0=$

Anfangsbedingungen:

$x(t_0)=$

$\frac{dx}{dt}(t_0)=$

$t_0=$

$m=$ 1 [kg]

$b=$ 0.2 [kg/s]

$k=$ 0.9 [N/m]

Die Periodendauer der Schwingung beträgt $T=2\pi/\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m}}=$ 6.66 s.