Aperiodischer Grenzfall einer gedämpften, getriebenen SchwingungEine gedämpfte, getriebene Schwingung wird durch die Gleichung beschrieben, \[\begin{equation} \label{eq:e1} m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt} + kx = F_0\cos(\Omega t). \end{equation}\]Wenn $b^2-4km = 0$ ist, ist das System kritisch gedämpft und die Lösung ist die Summe aus der homogenen Lösung und der speziellen Lösung. Die spezielle Lösung ist, $$x_p(t) = \frac{F_0}{\rho}\cos (\Omega t -\theta),$$wo $$\rho = \sqrt{(k-m\Omega^2)^2+\Omega^2b^2}\hspace{1cm}\text{and}\hspace{1cm} \tan\theta = \frac{\Omega b}{k-m\Omega^2}.$$Diese spezielle Lösung wurde in der Diskussion der Resonanz des gedämpften angetriebenen Oszillator abgeleitet. Dass dies eine Lösung ist, kann durch zweimaliges Differenzieren und Einsetzen in die Differentialgleichung \eqref{eq:e1} gezeigt werden. Die homogenen Lösungen lösen die Differentialgleichung, \[\begin{equation} \label{eq:e2} m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0. \end{equation}\]Die homogenen Lösungen haben die Form, $$x(t) = C_1 \exp \left(-t/\tau\right)+C_2t \exp \left(-t/\tau\right),$$wo $$\tau=\frac{2m}{b}.$$Die homogenen Lösungen lösen Gl. \eqref{eq:e2} für jeden Wert von $C_1$ und $C_2$, wie durch Einsetzen der homogenen Lösung in die Differentialgleichung \eqref{eq:e2} demonstriert werden kann. Die Gesamtlösung ist, $$x(t) = C_1 \exp \left(-t/\tau\right)+C_2t \exp \left(-t/\tau\right) + \frac{F_0}{\rho}\cos (\Omega t -\theta).$$Die Konstanten $C_1$ und $C_2$ lassen sich aus den Anfangsbedingungen bestimmen: $x_0$ ist die Position bei $t=0$ und $v_{x0}$ ist die Geschwindigkeit bei $t=0$. $$C_1 = x_0-\frac{F_0}{\rho}\cos (\theta),\qquad C_2 = v_{x0} +\frac{C_1}{\tau} -\frac{\Omega F_0}{\rho}\sin ( \theta).$$
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