Beschreibung von Oszillationen mit komplexen Zahlen

Numerisch werden Oszillationen allgemein durch Differentialgleichungen dargestellt. Bis jetzt haben wir für diese Darstellungen numerische Differentialgleichungsrechner verwendet, während die Formeln der Oszillations- und Resonanzfrequenzen einfach zur Verfügung gestellt worden sind. Im Folgenden werden ein paar analytische Lösungen hergeleitet diese verwenden typisch auch komplexe Zahlen also wird zuerst die Eulersche Formel $e^{i\omega t} = \cos(\omega t) + i\sin(\omega t)$ diskutiert.

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Der rote Punkt repräsentiert die Position der komplexen Zahl eiωt während diese durch die komplexe Ebene wandert. Imaginäre Zahlen werden vertikal und reelle Zahlen horizontal aufgetragen. Der blaue Punkt repräsentiert die Position von cos(ωt) und der grüne Punkt die Position von isin(ωt). Die Simulation links zeigt die graphische Darstellung der Formel rechts.

Ozcillationen, die mittels sin(ωt) oder cos(ωt) beschrieben werden können, heißen harmonische Schwingungen. Die Simulation demonstriert, daß es eine Beziehung zwischen Kreisbewegungen und harmonischen Schwingungen gibt. Betrachten Sie die Bewegung des roten Punktes von oben, bewegt er sich auf einer Kreisbahn. Betrachten Sie seine Bewegung jedoch von der Seite, so führt eine harmonische Schwingung aus.

Die Beziehung zwischen Kreisbewegungen und harmonischen Schwingungen läßt sich mit Hilfe von komplexen Zahlen leicht beschreiben. Es ist manchmal hilfreich, sich beim Beobachten einer harmonischen Schwingung eine von der Seite betrachtete Kreisbewegung vorzustellen. Wir können dabei die Bewegungskomponente in imaginärer Richtung nicht messen, wir stellen sie uns einfach vor.