Numerische Differentation: Position → Geschwindigkeit → Beschleunigung

Häufig wird in einem Experiment eine bestimmte Größe als Funktion der Zeit gemessen. Nimmt man ein sich bewegendes Objekt auf ist es zum Beispiel möglich, die Position des Objekts in jedem Einzelbild des Videobands zu bestimmen. Mithilfe eines Doppler-Radars kann, die Geschwindigkeit eines Objekts als Funktion der Zeit aufgezeichnet werden. Der Beschleunigungsmesser eines Handys kann, die Beschleunigung als Funktion der Zeit aufzuzeichnen. Wenn eine dieser Grössen gemessen wird, können die anderen berechnet werden. Liegen die Messdaten in tabellarischer Form vor, muss die Integration oder Differenzierung numerisch erfolgen.

Hier folgen einige Programme, die numerische Daten unterscheiden. Eine Komponente des Ortsvektors (z.B. $r_x(t)$) kann durch Einfügen von zwei Datenspalten in das rote Textfeld angegeben werden. Wenn die Schaltfläche "Aus Tabelle berechnen" gedrückt wird, werden die Daten auf der rechten Seite dargestellt. Unterhalb der Daten und der Darstellung von $r_x(t)$ wird die Geschwindigkeit $v_x=\frac{dr_x}{dt}$ und die Beschleunigung $a_x=\frac{d^2r_x}{dt^2}$ tabellarisch und grafisch dargestellt. Dieser Vorgang kann für alle drei Komponenten des Ortsvektors wiederholt werden.

Auch das rote Textfeld kann mit Daten gefüllt werden, indem eine Formel in das blaue Textfeld eingeben und die Schaltfläche "Berechne aus Formel“ gedrücket wird. Diese Formel wird verwendet, um die Tabelle mit 1000 Werten von $r_x(t)$ in gleichen Abständen zwischen $t_1$ und $t_2$ zu füllen.

$r_x(t)=$  [m]
im Bereich von $t_1=$  [s] zu $t_2=$  [s].

 $t$ [s]  $r_x$ [m]

  

$r_x$ [m]

$t$ [s]

Die Geschwindigkeit kann numerisch wie folgt bestimmt werden:

$v_x=\frac{dr_x}{dt}\approx -\frac{r_x(t+\Delta t)-r_x(t)}{\Delta t}.$

 $t$ [s]  $v_x$ [m/s]

  

$v_x$ [m/s]

$t$ [s]

Die Beschleunigung kann numerisch wie folgt bestimmt werden:

$a_x= \frac{dv_x}{dt}\approx \frac{v_x(t+\Delta t)-v_x(t)}{\Delta t}.$

 $t$ [s]  $a_x$ [m/s²]

  

$a_x$ [m/s²]

$t$ [s]

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