Numerische Lösungen von Differentialgleichungen in drei Dimensionen

Ein Objekt, das sich in drei Dimensionen bewegt, wird durch sechs Variablen beschrieben: $x$, $y$, $z$, $v_x$, $v_y$ und $v_z$. Wenn die Kraft auf das Objekt bekannt ist, dann kann die Bewegung durch sechs Differentialgleichungen erster Ordnung beschrieben werden,

$\large \frac{dx}{dt}=v_x$   $\large \frac{dv_x}{dt}=F_x(x,y,z,v_x,v_y,v_z,t)/m$

$\large \frac{dy}{dt}=v_y$   $\large \frac{dv_y}{dt}=F_y(x,y,z,v_x,v_y,v_z,t)/m$

$\large \frac{dz}{dt}=v_z$   $\large \frac{dv_z}{dt}=F_z(x,y,z,v_x,v_y,v_z,t)/m$

Diese Gleichungen können Schritt für Schritt numerisch gelöst werden. Bei bekannten Anfangsbedingungen für $\vec{x}(t_0)$ und $\vec{v}(t_0)$ ergibt sich als Näherung, für $\vec{x}$ und $\vec{v}$ kurze Zeit $\Delta t$ später,

$\large \vec{x}(t_0+\Delta t) \approx \frac{d\vec{v}}{dt}|_{t_0}\Delta t$ and $\large \vec{v}(t_0+\Delta t) \approx \vec{F}(x(t_0),v_x(t_0),t_0)\Delta t/m.$

Sobald eine Näherung für die Position und die Geschwindigkeit des Objekts zum Zeitpunkt $t_0 + \Delta t$ berechnet ist, kann die Näherung der Position und der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_0 + 2\Delta t$ berechnet werden. Durch wiederholen dieses Schrittes kann eine Tabelle mit Zeiten $(t)$, Positionen $(x,y,z)$, der Geschwindigkeit $(v_x,v_y,v_z)$ und der Kräfte $(F_x,F_y,F_z)$ erstellt werden. Andere Größen wie die kinetische Energie, die geleistete Arbeit und die Momentanleistung können berechnet werden. Die kinetische Energie beträgt $E_{\text{kin}}=\frac{v_x^2+v_y^2+v_z^2}{2m}$ [J]. Wenn eine Kraft ein Teilchen um eine Strecke $d\vec{r}$ bewegt, führt sie ein kleinen Teil $dW=\int\vec{F}\cdot d\vec{r}$ [J] Arbeit aus. Diese Arbeit wird in einer Zeit $dt$ ausgeführt. Die dafür benötigte Leistung beträgt $P=dW/dt=\vec{F}\cdot\vec{v}$ [W].

In nachfolgenden Programm sind $F_x$, $F_y$ und $F_z$ die drei Komponenten der Kraft, $m$ die Masse und $t$ die Zeit. Ausgehend von den Anfangsbedingungen werden die Gleichungen für eine Gesamtzahl von $N_{Schritte}$ Schritten mit einer Schrittweite von $\Delta t$ integriert. Die Kraft kann in Abhängigkeit von den Positionen $x$, $y$, $z$, den Geschwindigkeiten $v_x$, $v_y$, $v_z$ und der Zeit $t$ angegeben werden.

 3-D motion differential equation solver 

$ F_x=$

 [N]

$ F_y=$

 [N]

$ F_z=$

 [N]

$ m=$

 [kg]  
Initial conditions:

$t_0=$

 [s]

$\Delta t=$

 [s]

$x(t_0)=$

 [m]

$N_{steps}$

$v_x(t_0)=$

 [m/s]

Plot:

vs.

$y(t_0)=$

 [m]

$v_y(t_0)=$

 [m/s]

$z(t_0)=$

 [m]

$v_z(t_0)=$

 [m/s]

 

= , =


the animation to zoom or rotate.

 $t$ [s] $x$ [m] $y$ [m] $z$ [m] $v_x$ [m/s] $v_y$ [m/s] $v_z$ [m/s] $F_x$ [N] $F_y$ [N] $F_z$ [N] $P$ [W] $E_{\text{kin}}$ [J] $W$ [J]

Beispiele

Fragen