Numerische Lösungen: Schritt für Schritt

Ein Objekt, das sich eindimensional bewegt, lässt sich durch seine Position $x$ und seine Geschwindigkeit $v_x$ beschreiben. Wenn die Kraft auf das Objekt bekannt ist, dann kann die Bewegung durch zwei Differentialgleichungen erster Ordnung beschrieben werden,

$\large \frac{dx}{dt}=v_x$ and $\large \frac{dv_x}{dt}=a_x=F_x(x,v_x,t)/m.$

Hier ist $F$ die Kraft, $m$ die Masse und $t$ die Zeit. Diese Gleichungen können numerisch gelöst werden. Eine Näherung für $x$ und $v_x$ kurze Zeit später $\Delta t$ bei bekannten Anfangsbedingungen $x(t_0)$ und $v_x(t_0)$ ist,

$\large x(t_0+\Delta t) \approx \frac{dv_x}{dt}|_{t_0}\Delta t$ and $\large v_x(t_0+\Delta t) \approx F(x(t_0),v_x(t_0),t_0)\Delta t/m.$

Hat man eine Näherung für die Position und die Geschwindigkeit des Objekts zum Zeitpunkt $t_0 + \Delta t$ berechnet, kann diese zur Näherung der Position und der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_0 + 2\Delta t$ verwendet werden. Die Lösung wird Schritt fü Schritt erzeugt, indem die Zeit um ein kleines $\Delta t$ erhöht wird.

Das nachstehende Programm kann verwendet werden, um diese Gleichungen für eine Gesamtzahl von $N_{Schritte}$ Schritten mit einer Schrittweite von $\Delta t$ numerisch zu integrieren. Die Taste zeigt einen Hilfetext an, der die Variablen und Funktionen angibt, die ins Blaue Textfeld gesetzt werden können .

 Numerical 2nd order differential equation solver 

$ \large \frac{dx}{dt}=$

$v_x$

$ \large a_x=\frac{F_x}{m}=\frac{dv_x}{dt}=$

 
Intitial conditions:

$x(t_0)=$

$\Delta t=$

$v_x(t_0)=$

$N_{steps}$

$t_0=$

Plot:

vs.

 

= , =

 $t$       $x$      $v_x$

Im obigen Formular kann die Kraft mithilfe der mathematischen Standardfunktionen abs(x), acos(x), asin(x), atan(x), cos(x), exp(x), pi = 3.141592653589793, pow(x,y) = xy, round(x), sin(x), sqrt(x), and tan(x) angegeben werden. Beachten Sie, daß die Multiplikation mit einem '*' Symbol angegeben werden muss, also 3*cos(x) statt 3cos(x). Potenzen werden mit der 'pow' Funktion spezifiert: x² ist pow(x,2) statt x^2.

Die numerische Integration wird instabil, wenn der Zeitschritt zu lang wird. Der Zeitschritt sollte einen Faktor 10 bis 100 mal kleiner sein als jede berechnete, charakteristische Zeit der Bewegung. Wird der Orbit der Erde um die Sonne berechnet, dann ist ein Zeitschritt von 3 Tagen (ca. 4E6 Sekunden) angemessen. Wird die Bewegung eines Elektrons vorbei an einem Ion berechnet, ist ein Zeitschritt von 1 ps sinnvoll. Wird die Routine instabil, wird nichts graphisch dargestellt. In diesem Fall sollte die Berechnung mit einem kürzeren Zeitschritt versucht werden.

Es gibt viele Routinen, um eine numerische Integration vorzunehmen. Die oben beschriebene Methode nennt sich die Euler Methode. Konkret jedoch benutzt diese APP die genauere Runge-Kutta Methode vierter Ordnung mit fixer Schrittweite. Einige Routinen zur numerischen Integration berechnen den optimalen Zeitschritt automatisch.

Beispiele

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