Numerische Lösungen: Schritt für Schritt

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<p>Ein Objekt, das sich eindimensional bewegt, lässt sich durch seine Position $x$ und seine Geschwindigkeit $v_x$ beschreiben. Wenn die Kraft auf das Objekt bekannt ist, dann kann die Bewegung durch zwei Differentialgleichungen erster Ordnung beschrieben werden,</p>

<p style="text-align:center">$\large \frac{dx}{dt}=v_x$ and $\large \frac{dv_x}{dt}=a_x=F_x(x,v_x,t)/m.$</p>

<p>Hier ist $F$ die Kraft, $m$ die Masse und $t$ die Zeit. Diese Gleichungen können numerisch gelöst werden. Eine Näherung für $x$ und $v_x$ kurze Zeit später $\Delta t$ bei bekannten Anfangsbedingungen $x(t_0)$ und $v_x(t_0)$ ist,</p>

<p style="text-align:center">$\large x(t_0+\Delta t) \approx \frac{dv_x}{dt}|_{t_0}\Delta t$ and $\large v_x(t_0+\Delta t) \approx F(x(t_0),v_x(t_0),t_0)\Delta t/m.$</p>

<p>Hat man eine Näherung für die Position und die Geschwindigkeit des Objekts zum Zeitpunkt $t_0 + \Delta t$ berechnet, kann diese zur Näherung der Position und der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_0 + 2\Delta t$ verwendet werden. Die Lösung wird Schritt fü Schritt erzeugt, indem die Zeit um ein kleines $\Delta t$ erhöht wird.</p>

<p>Das nachstehende Programm kann verwendet werden, um diese Gleichungen für eine Gesamtzahl von $N_{Schritte}$ Schritten mit einer Schrittweite von $\Delta t$ numerisch zu integrieren.  Die <input type="button" value="?" onclick="help_nr=0; help(); "> Taste zeigt einen Hilfetext an, der die Variablen und Funktionen angibt, die ins Blaue Textfeld gesetzt werden können.</p>

<p>Im Formular kann die Kraft mithilfe der mathematischen Standardfunktionen abs(x), acos(x), asin(x), atan(x), cos(x), exp(x), pi = 3.141592653589793, pow(x,y) = x<sup>y</sup>, round(x), sin(x), sqrt(x), and tan(x) angegeben werden. Beachten Sie, daß die Multiplikation mit einem '*' Symbol angegeben werden muss, also 3*cos(x) statt 3cos(x). Potenzen werden mit der 'pow' Funktion spezifiert: x² ist pow(x,2) statt x^2.</p>

<p>Die numerische Integration wird instabil, wenn der Zeitschritt zu lang wird. Der Zeitschritt sollte einen Faktor 10 bis 100 mal kleiner sein als jede berechnete, charakteristische Zeit der Bewegung. Wird der Orbit der Erde um die Sonne berechnet, dann ist ein Zeitschritt von 3 Tagen (ca. 4E6 Sekunden) angemessen. Wird die Bewegung eines Elektrons vorbei an einem Ion berechnet, ist ein Zeitschritt von 1 ps sinnvoll. Wird die Routine instabil, wird nichts graphisch dargestellt. In diesem Fall sollte die Berechnung mit einem kürzeren Zeitschritt versucht werden.</p>

<p>Es gibt viele Routinen, um eine <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_integration">numerische Integration</a> vorzunehmen. Die oben beschriebene Methode nennt sich die <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_method">Euler Methode</a>. Konkret jedoch benutzt diese APP die genauere <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Runge%E2%80%93Kutta_methods">Runge-Kutta</a> Methode vierter Ordnung mit fixer Schrittweite. Einige Routinen zur numerischen Integration berechnen den optimalen Zeitschritt automatisch.</p>

<h3 style="text-align:center">Ein Ball wird vertikal nach oben geworfen</h3>

<p>Ein Ball wird vertikal nach oben geworfen, mit einer Anfangsgeschwindigkeit $v_0=10$ m/s. Es gibt eine von der Geschwindigkeit abhängige Reibungskraft in die entgegengesetzte Richtung der Geschwindigkeit. Die gesamte Kraft auf den Ball besteht aus Gravitationskraft und Reibungskraft $F=-mg-bv_x$, mit $F$ der Kraft, $m$ der Masse des Balls, $g=9.81$ m/s² der Erdbeschleunigung auf der Erdoberfläche, $b$ der Reibungskraft-Konstanten, und $v_x$ der Geschwindigkeit. Die Beschleunigung des Balls ist $a_x=-g-bv_x/m$. Die Bewegung liegt auf einer Geraden, die wir als die $x$-Achse festlegen können. Die Gleichungen werden in den numerischen Löser von Differentialgleichungen 2ter Ordnung geladen. </p>

</table>

</form>

<p>Für längere Zeit, fällt der Ball mit einer konstanten Endgeschwindigkeit $v_{\text{terminal}}=-mg/b=$ <span id="termv">-24.5</span> m/s.</p>

<h3 style="text-align:center">Gedämpftes Masse-Feder system</h3>
<p>Eine Masse $m$ ist mit einer linearen Feder der Federkonstanten $k$ verbunden. Die Feder wird 2 cm aus ihrer Gleichgewichtsposition gezogen und die Masse wird aus einer Ruhelage losgelassen. Auf die Masse wirkt eine Reibungskraft in die entgegengesetzte Richtung der Geschwindigkeit $F_{\text{drag}}=-bv_x$, mit $b$ der Reibungskraftkonstanten. Die Beschleunigung der Masse ist $a_x=-kx/m-bv_x/m$. Die Bewegung liegt auf einer Geraden, die wir als die $x$-Achse annehmen können. Die Gleichungen werden in den Löser für Differentialgleichungen 2ter Ordnung geladen.</p>

</table>

</form>

<p style="text-align:center"><span id="period">Die Periode der Schwingungen ist $T=2\pi/\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m}}=$ 6.66 s.</span></p>

<h3 style="text-align:center">Masse-nichtlineare Feder System</h3>

<p>Für eine lineare Feder ist die Kraft proportional zur Auslenkung der Feder, $F=-kx$. 
Bei einer harten Feder, wächst die Kraft schneller als linear, wenn die Feder ausgelenkt wird. 
Ein Beispiel für eine harte Feder ist $F=-kx|x|$. 
Bei einer weichen Feder, wächst die Kraft langsamer als linear, wenn die Feder ausgelenkt wird. 
Ein Beispiel für eine weiche Feder ist $F=-k\sin(x)$. 
In der darunterliegenden Simulation wird die Feder von der Gleichgewichtsposition ausgelenkt, und die Masse $m$ aus dem Ruhezustand losgelassen. 
Wenn Reibung vernachlässigt wird, dann oszilliert die Masse um die Gleichgewichtsposition der Feder. 
Für nichtlineare Federn, ist die Frequenz der Oszillation von der Amplitude Abhängig.
Bei harten Federn erhöht sich die Frequenz mit der Amplitude, und bei weiche Federn verringert sich die Frequenz mit der Amplitude. </p>

<p style="text-align:center"><input type="radio" id="hard" name="spring" value="hard" onclick="nspring();" checked>
<label for="hard">Hard spring $F=-kx|x|$</label>  <input type="radio" id="lin" name="spring" value="lin" onclick="nspring();">
<label for="lin">Linear spring $F=-kx$</label>  <input type="radio" id="soft" name="spring" value="soft" onclick="nspring();">
<label for="soft">Soft spring $F=-k\sin(x)$</label></p>

<h3 style="text-align:center">Resonanz: Gedämpftes angetriebenes Masse-Feder-System</h3>

<p>Eine Masse $m$ ist an einer linearen Feder mit der Federkonstante $k$ befestigt. Auf die Masse wirkt eine Reibungskraft in entgegengesetze Richtung der Geschwindigkeit $F_{\text{drag}}=-bv_x$ (sei $b$ der Reibungskoeffizient). Das System wird durch eine periodische Antriebskraft $F_0\cos(\Omega t)$ angetrieben. Die folgende Differentialgleichung beschreibt die Bewegung:</p>

<p style="text-align:center">$\large m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt}+kx=F_0\cos(\Omega t).$</p>

<tr><td><p style="text-align:right; margin-right:0cm;">$\Omega=$ <span id="omgtext">1</span> [rad/s]</td><td><input type="button" value="-" onclick="ball.slide_omg.value=ball.slide_omg.value-0.1; resonance();"><input type='range' min='0' max='10' step='0.1' name='slide_omg' value='1' onchange='resonance();' oninput='resonance();'/><input type="button" value="+" onclick="ball.slide_omg.value=eval(ball.slide_omg.value) + 0.1; resonance();"></td></tr>

</table>

</form>

<p><span id="termv">Die Resonanzfrequenz ist $\omega=\sqrt{k/m-b^2/4m^2}=$ 0.943 rad/s. Die maximale Auswirkung folgt aus der Gleichheit der Treiber- und Resonanzfrequenz. Die Amplitude der daraus resultierenden Schwingungen (im Gleichgewichtszustand) ist $F_0/\sqrt{(k-m\Omega^2)^2+\Omega^2b^2}=$ 0.447 m.</span></p>

<p>Siehe auch: <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/script/oscillations/resonance.de.php">Resonanz des gedämpften getriebenen Oszillators</a>.</p>

<h3 style="text-align:center">Relaxationsoszillator: Van-der-Pol Oszillator</h3>

<p>Ein <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kippschwinger">Relaxationsoszillator</a> ist ein System, welches ein periodisches Signal produziert. Herzschläge und das Quietschen von Fingernägeln auf einer Tafel sind Beispiele solcher Relaxationsoszillatoren. Ein Relaxationsoszillator, der mit elektronischen Komponenten gebaut werden kann, wird <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Van-der-Pol-System">Van-der-Pol-Oszillator</a> genannt. Dieses System wird durch die Differentialgleichung,</p>

<p>beschrieben. Für kleine Werte $x$, ist der Dämpfungsterm $ \mu (1-x^2)\frac{dx}{dt}$ negativ und das Signal wächst bis $x>1$ wenn die Dämpfung positiv wird und das Signal wieder abklingt. Die Frequenz der Schwingungen kann kontrolliert werden, wenn $\mu$ verändert wird. In einem elektrischen Schaltkreis kann das durch einen varbialen Wiederstand erreicht werden. Erhöhen Sie $N_{steps}$ um mehr Schwingungen zu sehen.</p>

</table>

</form>

<h3 style="text-align:center">Parametrischer Oszillator</h3>

<p>Ein <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Parametrischer_Oszillator">Parametrischer Oszillator</a> ist ein System, das Schwingungen erzeugt, wenn einige Parameter des Systems periodisch verändert werden. Ein typisches Beispiel ist ein Kind auf einer Schaukel. Für Schwingungen kleiner Amplitude ist die rücktreibende Kraft $-\frac{mg}{l}x$, mit $m$ der Masse, $l$ der Länge der Schaukel, und $g=9.81$ m/s² der Erdbeschleunigung auf der Erdoberfläche. Wird die Länge der Schaukel periodisch verändert, wird das System von folgender Differentialgleichung gelöst:</p>

<p style="text-align:center">$m\frac{d^2x}{dt^2}+b \frac{dx}{dt}+\frac{mg}{l(1-A\cos(\Omega t))}x=0.$</p>
 
<p>Größere Amplituden werden erzeugt, wenn die Regulierung ungefähr zweimal die Resonanzfrequenz ist. Für die meisten Parameter wird keine parametrische Verstärkung beobachtet.</p>

<tr><td><p style="text-align:right; margin-right:0cm;">$\Omega=$ <span id="omgtext">8</span> [rad/s]</td><td><input type="button" value="-" onclick="ball.slide_omg.value=ball.slide_omg.value-0.1; parametric();"><input type='range' min='0' max='12' step='0.1' name='slide_omg' value='8' onchange='parametric();' oninput='parametric();'/><input type="button" value="+" onclick="ball.slide_omg.value=eval(ball.slide_omg.value) + 0.1; parametric();"></td></tr>

</table>

</form>

<p><span id="termv">Die Resonanzfrequenz ist $\Omega_0=\sqrt{g/l-b^2/4m^2}=$ 4.43 rad/s. </span></p>






	Physik für Geodäsie 511.018 / Physik M 513.805

Numerische Lösungen: Schritt für Schritt

Numerisches Lösen von Differentialgleichungen zweiter Ordnung