Differentialgleichungen

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung für eine Funktion die auch eine Ableitung dieser Funktion enthält. Eine Differentialgleichung erster Ordnung ist zum Beispiel,

$$ a\frac{dx}{dt}+bx = c,$$

wobei $a$, $b$ und $c$ Konstanten sind. Die Lösung dieser Differentialgleichung ist $x = \frac{c}{b} - \frac{a}{b}\exp \left(-\frac{b}{a}t\right)$. Überprüft werden kann dies durch einsetzen der Lösung in die Defferentialgleichung.

Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung enthält dementsprechend eine zweite Ableitung. Das Newtonsche Gesetz für ein Teilchen, das sich nur in $x$-Richtung bewegt, kann als Differentialgleichung zweiter Ordnung geschrieben werden.

$$F_x(r_x,v_x,t) = m\frac{d^2r_x}{dt^2},$$

wobei die Beschleunigung als zweite Ableitung der Position geschrieben wurde, $a_x = \frac{d^2r_x}{dt^2}$. Im Allgemeinen kann die Kraft eine Funktion des Ortes, der Geschwindigkeit und der Zeit sein. Jede Differentialgleichung zweiter Ordnung kann als zwei gekoppelte Gleichungen erster Ordnung geschrieben werden. Für das Newtonsche Gesetz wäre dies,

$$v_x = \frac{dr_x}{dt} \hspace{1.5cm} \frac{dv_x}{dv} = \frac{F_x(r_x,v_x,t)}{m}.$$

Wenn wir keiner der Größen $r_x$, $v_x$, $a_x$ oder $F_x$ als Funktion der Zeit kennen eignet sich die oben dargestellte Form des Newton'schen Gesetzes. Wenn die Kraft bekannt ist, kann die Trajektorie des Teilchens berechnet werden. Manchmal ist es möglich, eine analytische Lösung für eine Differentialgleichung zu finden. Häufig müssen Differentialgleichungen jedoch numerisch gelöst werden. Wir beginnen mit einer Diskussion über die numerischen Lösungen des Newton'schen Gesetzes als Differentialgleichung.