Das Magnetfeld um einen unendlich langen geraden Draht

Ein Strom $I$ [A] fließt in die positive $z$-Richtung durch einen unendlich langen geraden Leiter, der auf der $z$-Achse liegt. Um das Magnetfeld berechnen zu können, verwenden wir das Biot-Savart Gesetz. Jedes Leitersegment $dz$ erzeugt ein Magnetfeld an der Position $\vec{r}$,

$$ d\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I d\vec{r}_{wire} \times (\vec{r}-\vec{r}_{wire})}{|\vec{r}-\vec{r}_{wire}|^3}\hspace{1cm}\text{[T]}.$$

Für $\vec{r}$ in der $x-y$ Ebene $\left(\vec{r}=x\hat{x}+y\hat{y}\right)$, ist die Summe der Beiträge aller Leitersegmente,

$$\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0I}{4\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{ dz\hat{z} \times \left(x\hat{x}+y\hat{y}-z\hat{z}\right)}{\sqrt{r^2+z^2}^3}\hspace{1cm}\text{[T]}.$$

Die Kreuzprodukte sind $\hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}$, $\hat{z}\times\hat{y}=-\hat{x}$, $\hat{z}\times\hat{z}=0$,

$$\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0I}{4\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{ xdz \hat{y}}{\sqrt{r^2+z^2}^3}-\frac{\mu_0I}{4\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{ ydz \hat{x}}{\sqrt{r^2+z^2}^3}\hspace{1cm}\text{[T]}.$$

Unter Verwendung der Identität,

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{dz}{\left(r^2+z^2\right)^{3/2}} = \frac{2}{r^2},$$

kann die Gleichung geschrieben werden als,

$$\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0I}{2\pi}\left(\frac{-y}{r^2}\hat{x}+ \frac{x}{r^2}\hat{y}\right)=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\hat{z}\times\hat{r}\hspace{1cm}\text{[T]}.$$

Das Magnetfeld zeigt in die azimutale Richtung senkrecht zu $\hat{z}$ und $\hat{r}$. Das Magnetfeld bildet Kreise rund um den Leiter. Die Richtung der Magnetfeldlinien ist gegeben durch die Rechte-Hand-Regel, zeigen Sie mit dem Daumen der rechten Hand in die Richtung des Stromflusses, nun zeigen Ihre abgewinkelten Finger in Richtung des Magnetfeldes.

\[ \begin{equation} |\vec{B}(\vec{r})|=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\hspace{0.5cm}\text{[T]},\hspace{2cm} \end{equation} \]
Fragen