Das Magnetfeld um einen unendlich langen geraden Draht

Ein Strom $I$ [A] fließt in die positive $z$-Richtung durch einen unendlich langen geraden Leiter, der auf der $z$-Achse liegt. Um das Magnetfeld berechnen zu können, verwenden wir das Biot-Savart Gesetz. Jedes Leitersegment $dz$ erzeugt ein Magnetfeld an der Position $\vec{r}$,

$$ d\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I d\vec{r}_{wire} \times (\vec{r}-\vec{r}_{wire})}{|\vec{r}-\vec{r}_{wire}|^3}\hspace{1cm}\text{[T]}.$$

Für $\vec{r}$ in der $x-y$ Ebene $\left(\vec{r}=x\hat{x}+y\hat{y}\right)$, ist die Summe der Beiträge aller Leitersegmente,

$$\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0I}{4\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{ dz\hat{z} \times \left(x\hat{x}+y\hat{y}-z\hat{z}\right)}{\sqrt{r^2+z^2}^3}\hspace{1cm}\text{[T]}.$$

Die Kreuzprodukte sind $\hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}$, $\hat{z}\times\hat{y}=-\hat{x}$, $\hat{z}\times\hat{z}=0$,

$$\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0I}{4\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{ xdz \hat{y}}{\sqrt{r^2+z^2}^3}-\frac{\mu_0I}{4\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{ ydz \hat{x}}{\sqrt{r^2+z^2}^3}\hspace{1cm}\text{[T]}.$$

Unter Verwendung der Identität,

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{dz}{\left(r^2+z^2\right)^{3/2}} = \frac{2}{r^2},$$

kann die Gleichung geschrieben werden als,

$$\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0I}{2\pi}\left(\frac{-y}{r^2}\hat{x}+ \frac{x}{r^2}\hat{y}\right)=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\hat{z}\times\hat{r}\hspace{1cm}\text{[T]}.$$

Das Magnetfeld zeigt in die azimutale Richtung senkrecht zu $\hat{z}$ und $\hat{r}$. Das Magnetfeld bildet Kreise rund um den Leiter. Die Richtung der Magnetfeldlinien ist gegeben durch die Rechte-Hand-Regel, zeigen Sie mit dem Daumen der rechten Hand in die Richtung des Stromflusses, nun zeigen Ihre abgewinkelten Finger in Richtung des Magnetfeldes.

\[ \begin{equation} \hspace{0.5cm}\bbox[10px, border: 1px solid black]{|\vec{B}(\vec{r})|=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\hspace{0.5cm}\text{[T]}}\hspace{0.5cm} \end{equation} \]  

Das Ampère'sche Gesetz kann auch zur Berechnung des Magnetfeldes verwendet werden. Die integrale Form des Ampère-Gesetzes ist,

$$\oint\limits_{C}\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I_{enc},$$

wobei das Magnetfeld entlang einer geschlossenen Kurve $C$ integriert ist und $I_{enc}$ der Strom ist, der durch $C$ fließt. Für einen langen geraden Draht entscheiden wir uns, das Magnetfeld entlang eines Kreises um den Draht herum zu integrieren.

Da die Integration um die Schleife herum durchgeführt wird, ist $d\vec{l}$ bei jedem Schritt parallel zu $\vec{B}$. Da $|\vec{B}|$ entlang der Schleife konstant ist, ist das Ergebnis des Linienintegrals,

$$\oint\limits_{C}\vec{B}\cdot d\vec{l}=2\pi r |\vec{B}|.$$

Das ergibt die gleiche Formel für das Magnetfeld um einen stromdurchflossenen Draht, wie sie mit dem Biot-Savart-Gesetz bestimmt wurde.

$$|\vec{B}(\vec{r})|=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\hspace{1cm}\text{[T]}.$$

Beliebige Ausrichtung

Stellen Sie sich einen langen geraden Draht vor, bei dem der Strom $I$ in die Richtung $\hat{n}$ fließt, die durch den Punkt $\vec{r}_0$ verläuft. Der Vektor, der von $\vec{r}_0$ auf einen anderen Punkt $\vec{r}$ zeigt, ist $\vec{r}-\vec{r}_0$. Dieser Vektor kann in einen Abstand entlang des Drahtes und einen Abstand senkrecht zum Draht zerlegt werden, $\vec{r}-\vec{r}_0 = \vec{d}_{\parallel} + \vec{d}_ {\perp}$, wobei die Parallelkomponente die Projektion von $\vec{r}-\vec{r}_0$ auf $\hat{n}$ ist, $\vec{d}_{\parallel}=\hat{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r}_0)\,\hat{n}$. Der kürzeste Abstand vom Draht zum Punkt $\vec{r}$ beträgt $\vec{d}_{\perp}=(\vec{r}-\vec{r}_0)-\vec{d}_{ \parallel}$.

Das Magnetfeld am Punkt $\vec{r}$ aufgrund des durch diesen Draht fließenden Stroms beträgt:

$$\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0I}{2\pi|\vec{d}_{\perp}|}\,\hat{n}\times\hat{ d}_{\perp}\,\,\text{[T]}.$$

Die Richtung des Magnetfelds ergibt sich aus dem Kreuzprodukt von $\hat{n}$ (der Richtung, in der der Strom fließt) und $\hat{d}_{\perp}$ (dem Einheitsvektor senkrecht zu der Draht, der auf den Punkt $\vec{r}$ zeigt).

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