Bewegung eines Teilchens im konstanten magnetischen und im elektrischen Feld

Die Bewegung eines Teilchens mit der Ladung $q$ und der Masse $m$ in einem konstanten magnetischen Feld, welches entlang der $z$-Achse ausgerichtet ist, $\vec{B}=B_z\,\hat{z}$, und einem beliebigen elektrischen Feld $\vec{E}$ wird beschrieben durch:

$y$

$x$

 $$\vec{r} =\left( x_0+\frac{E_y}{B_z}t+R\cos(\omega t + \phi)-R\cos(\phi)\right)\,\hat{x} \\ + \left( y_0 -\frac{E_x}{B_z}t+ R\sin(\omega t + \phi)-R\sin(\phi)\right)\,\hat{y} + \left(z_0 +v_{z0}t +\frac{qE_z}{2m}t^2\right)\,\hat{z},$$ $$\vec{v} =\frac{d\vec{r}}{dt}= \left(\frac{E_y}{B_z}-\omega R\sin(\omega t + \phi)\right)\,\hat{x}+ \left(-\frac{E_x}{B_z}+\omega R\cos(\omega t + \phi)\right)\,\hat{y} + \left(v_{z0}+\frac{qE_z}{m}t\right)\,\hat{z},$$ $$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}= -\omega^2 R\cos(\omega t + \phi)\,\hat{x} - \omega^2 R\sin(\omega t + \phi)\,\hat{y} + \frac{qE_z}{m}\,\hat{z},$$ $$\vec{F} = m\vec{a} = -m\omega^2 R\cos(\omega t + \phi)\,\hat{x} - m\omega^2 R\sin(\omega t + \phi)\,\hat{y} + qE_z\,\hat{z},$$

$x_0=0$ [m], $y_0=0$ [m], $v_{x0}=0$ [m/s],
$m=1$ [kg], $q=1$ [C]

$B_{z}=$ 0 [T]

$E_x=$ 2 [V/m]

$E_y=$ 2 [V/m]

$v_{x0}=$ 4 [m/s]

$v_{y0}=$ 4 [m/s]

 $$\omega = -\frac{qB_z}{m},\qquad \tan(\phi)= \frac{\frac{E_y}{B_z}-v_{x0}}{\frac{E_x}{B_z}+v_{y0}}, \\ R=\frac{1}{|\omega|}\sqrt{\left(v_{x0}-\frac{E_y}{B_z}\right)^2+\left(v_{y0}+\frac{E_x}{B_z}\right)^2}.$$

Seien elektrisches und magnetisches Feld rämlich und zeitlich konstant. Weiterhin zeige das magnetische Feld entlang der $z$-Achse, während das elektrische Feld in jede Richtung zeigen darf. Die Kraft auf das Teilchen ist die Lorentzkraft:

$$\vec{F} =q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}).$$

Die Kraft in $z$-Richtung ist konstant, $qE_z$, so dass die Bewegung der Beziehung $z=z_0+v_{z0}t+\frac{qE_z}{2m}t^2$ folgt, wobei $z_0$ und $v_{z0}$ Ort und Geschwindigkeit in $z$-Richtung zum Zeitpunkt $t=0$ sind. In die $x$- und $y$-Richtung wirken sowohl elektrische als auch magnetische Kräfte. Diese verursachen eine kreisförmigen Bewegung, welche sich mit konstanter Geschwindigkeit die Richtung senkrecht zur Komponente des elektrischen Feldes in der $x-y$-Ebene. Der Ortsvektor dieser Bewegung lautet:

$$\vec{r} =\left( x_0+\frac{E_y}{B_z}t+R\cos(\omega t + \phi)-R\cos(\phi)\right)\,\hat{x} + \left( y_0 -\frac{E_x}{B_z}t+ R\sin(\omega t + \phi)-R\sin(\phi)\right)\,\hat{y} + \left(z_0 +v_{z0}t +\frac{qE_z}{2m}t^2\right)\,\hat{z},$$

Hier ist $R$ der Radius des Kreises, $\omega$ die Winkelfrequenz und $\phi$ eine Phase die unten weiter spezifiziert wird. Beachte, dass der Ort des Teilchens zum Zeitpunkt $t=0$ $(x_0,y_0,z_0)$ ist. Die zeitliche Ableitung des Ortsvektors ergibt den Geschwindigkeitsvektor:

$$\vec{v} =\frac{d\vec{r}}{dt}= \left(\frac{E_y}{B_z}-\omega R\sin(\omega t + \phi)\right)\,\hat{x}+ \left(-\frac{E_x}{B_z}+\omega R\cos(\omega t + \phi)\right)\,\hat{y} + \left(v_{z0}+\frac{qE_z}{m}t\right)\,\hat{z}.$$

Das Auswerten dieses Ausdrucks $\vec{v}$ an $t=0$ liefert die Beziehungen $v_{x0} = \frac{E_y}{B_z}-\omega R\sin(\phi)$ und $v_{y0} = -\frac{E_x}{B_z}+\omega R\cos(\phi)$. Mit diesen Beziehungen lassen sich $\phi$ and $R$ bestimmen:

$$\tan(\phi)= \frac{\frac{E_y}{B_z}-v_{x0}}{\frac{E_x}{B_z}+v_{y0}}, \qquad R=\frac{1}{|\omega|}\sqrt{\left(v_{x0}-\frac{E_y}{B_z}\right)^2+\left(v_{y0}+\frac{E_x}{B_z}\right)^2}.$$

ie zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit ergibt die Beschleunigung:

$$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}= -\omega^2 R\cos(\omega t + \phi)\,\hat{x} - \omega^2 R\sin(\omega t + \phi)\,\hat{y} + \frac{qE_z}{m}\,\hat{z}.$$

Multiplikation mit der Masse $m$ liefert die Kraft:

$$\vec{F} = m\vec{a} = -m\omega^2 R\cos(\omega t + \phi)\,\hat{x} - m\omega^2 R\sin(\omega t + \phi)\,\hat{y} + qE_z\,\hat{z}.$$

Dieser Ausdruck für die Kraft kann mit $\vec{F} =q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})$ gleichgesetzt werden. Die Gleichungen für die $x$- und $y$-Komponente lauten:

$$ -m\omega^2 R\cos(\omega t + \phi)= \left(qE_x-q\frac{E_x}{B_z}B_z+q\omega R\cos(\omega t + \phi)B_z\right),$$ $$ - m\omega^2 R\sin(\omega t + \phi)=\left( qE_y -q\frac{E_y}{B_z}B_z+q\omega R\sin(\omega t + \phi)B_z\right).$$

Die Terme, welche das elektrische Feld enthalten, heben sich auf. Durch Vergleich der verbleibenden Terme finden wir die Winkelfrequenz:

$$\omega = -\frac{qB_z}{m}. $$

Dieses Problem kann numerisch mit der APP Numerisches Lösen von Differentialgleichungen 6. Ordnung gelöst werden.