Biot-Savart'sches Gesetz

Das magnetische Feld, welches von einem durch einen Draht fließenden elektrischen Strom $I$ hervorgerufen wird, kann bestimmt werden, indem der Strompfad in kurze Segmente geteilt wird und die Beiträge aller Segmente aufsummiert werden. Der Beitrag zum magnetischen Feld an der Position $\vec{r}$, hervorgerufen durch ein kurzes Längensegment $d\vec{s}$ bei $\vec{r}_{wire}$, ist:

$d\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I d\vec{s} \times (\vec{r}-\vec{r}_{wire})}{|\vec{r}-\vec{r}_{wire}|^3}$ [T].

Dabei zeigt $d\vec{s}$ in die Richtung des Stromflusses. Die Konstante $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ T m/A ist die magnetische Feldkonstante.

Die Lage und Form des Drahtes kann mit einer Parameterdarstellung unter Verwendung eines Parameters $s$, der die Distanz entlang des Drahtes misst, festgelegt werden. Beispielsweise wird ein gerader Draht von $\vec{r}_1$ nach $\vec{r}_2$ beschrieben durch:

$ \vec{r}_{wire}=(r_{1x}+s(r_{2x}-r_{1x}))\hat{x} + (r_{1y}+s(r_{2y}-r_{1y}))\hat{y} + (r_{1z}+s(r_{2z}-r_{1z}))\hat{z}$  wobei $s=[0,1]$.

Für eine Leiterschleife mit Radius $R$ in der $x$-$y$ Ebene bei $z=0$:

$\vec{r}_{wire}=R\cos(2\pi s)\hat{x} + R\sin(2\pi s)\hat{y} + 0\hat{z}$  wobei $s=[0,1]$.

Für eine Leiterspule mit 10 Windungen:

$ \vec{r}_{wire}=R\cos(2\pi s)\hat{x} + R\sin(2\pi s)\hat{y} + \frac{s}{n} \hat{z}$  wobei $s=[0,10]$,

$n$ ist die Anzahl der Windungen der Spule per Meter. Das folgende Formular kann benutzt werden, um das magnetische Feld an der Position $\vec{r}$ zu berechnen.

Die Position, an der $\vec{B}$ berechnet wird:

$\vec{r}=$ $\hat{x} +$ $\hat{y} +$ $\hat{z}$ [m].

Die parametrischen Gleichungen zur Beschreibung des Drahtes:

$\vec{r}_{wire}=$ $\hat{x} +$ $\hat{y} +$ $\hat{z}$ [m].

$s$ ist definiert von $s=$ bis $s=$ in Segmenten.

Der Strom: $I=$ [A].

Der Strom sei positiv, wenn es in die Richtung fließt in der $s$ zunimmt.

$\vec{B}=$ $\hat{x} +$ $\hat{y} +$ $\hat{z}$ [T].

Der 3D-Plot zeigt die Form des Drahtes. Je länger der Draht, umso mehr Segmente werden für eine akkurate Rechnung benötigt. Besitzt der Draht Windungen, sind ungefähr 300 Segmente pro Windung sinnvoll.

In der folgenden Liste sind die verwendbaren mathematischen Funktionen aufgeführt. Multiplikation muss mit dem '*' Symbol angegeben werden, also 3*cos(x) statt 3cos(x). Potenzen werden mit der 'pow' Funktion angegeben: x² ist pow(x,2) statt x^2.

  • abs(x) - Absolutwert
  • acos(x) - Arcus Kosinus
  • asin(x) - Arcus Sinus
  • atan(x) - Arcus Tangens
  • cos(x) - Kosinus
  • exp(x) - ex
  • log(x) - natürlicher Logarithmus
  • pi = 3.141592653589793
  • pow(x,y) - berechnet xy
  • round(x) - rundet auf die nächste ganze Zahl
  • sin(x) - Sinus
  • sqrt(x) - Quadratwurzel
  • tan(x) - Tangens
  • H(x) - Heaviside-Funktion