Ampèresche Gesetz

In den vorhergehenden Kapiteln wurde gezeigt, dass, wenn der Strom bekannt ist, das Magnetfeld mithilfe des Biot-Savart Gesetzes berechnet werden kann. Das Ampère'sche Gesetz erlaubt es uns die Ströme ausgehend vom Magnetfeld zu berechnen. Es gibt zwei Arten des Ampère'schen Gesetzes. Die differenzielle Form erlaubt es uns die Stromdichte zu berechnen,

$$\nabla\times\vec{B}=\mu_0 \vec{J}.$$

Hier ist die Rotation $\nabla\times\vec{B}$ definiert als,

$$\nabla\times\vec{B}=\left(\frac{\partial B_z}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial z}\right)\hat{x}+ \left(\frac{\partial B_x}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial x}\right)\hat{y}+ \left(\frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y}\right)\hat{z}.$$

Das Ampère'sche Gesetz kann umgeschrieben werden mithilfe des Stokes'schen Satzes in eine Form, die ein Kurvenintegral über die Kurve $C$ des Magnetfeldes in Relation setzt mit dem Strom $I_{enc}$ der durch diese Kurve fließt,

\begin{equation} \oint\limits_{C}\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I_{enc}. \end{equation}

Als Beispiel, betrachten Sie einen langen geraden Draht, parallel zur $z$-Achse, durch den der Strom $I$ fließt.

Da die Integration rund um die Schleife herum ausgeführt wird, ist $d\vec{l}$ bei jedem Schritt parallel zu $\vec{B}$. Da $|\vec{B}|$ konstant entlang dieser Kurve ist, ist das Ergebnis des Kurvenintegrals,

$$\oint\limits_{C}\vec{B}\cdot d\vec{l}=2\pi r |\vec{B}|.$$

Dies ergibt die gleiche Formel für das Magnetfeld rund um einen stromdurchflossenen Leiter, wie durch Verwendung des Biot-Savart Gesetzes.

$$|\vec{B}(\vec{r})|=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\hspace{1cm}\text{[T]}.$$

Das Ampère'sche Gesetz kann veranschaulicht werden mit der folgenden Simulation.


http://public.mitx.mit.edu/gwt-teal/AmperesLaw.html