Elektrisches Feld einer Oberflächenladungsdichte

Betrachten Sie eine gleichmäßige Ladungsschicht bei $x=0$. Die $y-z$ Ebene enthält Ladungen mit einer Dichte $\sigma$ Coulombs/m². Eine Punktladung an Position $(0,y,z)$ hat eine Ladung $\sigma dydz$.

Diese kleine Ladung wird ein kleines elektrisches Feld $d\vec{E}$ zum elektrischen Feld an der Position $x$ beitragen,

$$d\vec{E} = \frac{\sigma dydz}{4\pi\epsilon_0(x^2+y^2+z^2)}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\hat{x} - \frac{\sigma dydz}{4\pi\epsilon_0(x^2+y^2+z^2)}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\hat{y}-\frac{\sigma dydz}{4\pi\epsilon_0(x^2+y^2+z^2)}\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\hat{z}.$$

Dieses elektrische Feld hat eine Größe, $|d\vec{E}| =\frac{|\sigma |dydz}{4\pi\epsilon_0r^2}$, wobei $r^2 = x^2+y^2+z^2$ und eine Richtung,

$$d\hat{E} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\hat{x} - \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\hat{y} -\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\hat{z}.$$

Das gesamte elektrische Feld ist die Summe aller Ladungen aus jedem Abschnitt $dydz$.

$$\vec{E} = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\sigma dydz}{4\pi\epsilon_0(x^2+y^2+z^2)}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\hat{x} - \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\sigma dydz}{4\pi\epsilon_0(x^2+y^2+z^2)}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\hat{y}-\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\sigma dydz}{4\pi\epsilon_0(x^2+y^2+z^2)}\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\hat{z}.$$

Das zweite Integral verschwindet, wenn die Integration über $y$ durchgeführt wird, weil es eine ungerade Funktion ist, die über ein gerades Intervall ausgewertet wird. In ähnlicher Weise verschwindet das dritte Integral, wenn die Integration über $z$ durchgeführt wird. Das elektrische Feld hat nur eine Komponente senkrecht zur Ladungsebene.

$$\vec{E} = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\sigma dydz}{4\pi\epsilon_0(x^2+y^2+z^2)}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\hat{x}.$$

Unter Verwendung der Identität,

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{dz}{\left(R^2+z^2\right)^{3/2}} = \frac{2}{R^2},$$

wobei $R^2 = x^2 + y^2$,

$$\vec{E} = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sigma dy}{2\pi\epsilon_0(x^2+y^2)}\hat{x}.$$

Unter Verwendung der Identität,

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{dy}{\left(x^2+y^2\right)} = \frac{\pi}{|x|},$$

Das elektrische Feld ist,


$\hspace{0.5cm} \vec{E} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\text{sgn}(x)\hat{x}.\quad\text{V/m}.\hspace{0.5cm}$

$\text{sgn}(x) =1$ für $x > 0$ und $\text{sgn}(x) =-1$ für $x < 0$. Wenn die Flächenladung positiv $(\sigma > 0)$ ist, zeigt das elektrische Feld von der Flächenladung weg in die Richtung senkrecht zur Ebene auf beiden Seiten. Wenn die Flächenladung negativ $(\sigma < 0)$ ist, zeigt das elektrische Feld in Richtung der Flächenladung normal zur Ebene auf beiden Seiten.