Ladungsdichte → Elektrisches Feld → Elektrostatisches Potential

Wenn eine Ladungsdichte nur in einer Richtung variiert (zum Beispiel könnte sie in der $x$-Richtung variieren, aber in jeder $y-z$-Ebene konstant sein), dann sind die Gleichungen der Elektrostatik,

$$\vec{E}(\vec{r})=-\nabla \varphi(\vec{r}),\qquad \text{and}\qquad \nabla\cdot\vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho(\vec{r})}{\epsilon_r\epsilon_0},$$

vereinfacht zu,

$E(x)=\int\limits_{x_1}^{x}\frac{\rho(x')}{\epsilon_r\epsilon_0}dx'+E(x_1), $

$\varphi(x) = -\int\limits_{x_1}^{x} E(x')dx'+\phi(x_1).$

Diese Art der Ladungsverteilung tritt häufig in Kondensatoren, Dioden, Solarzellen und Transistoren auf. Berechnungen dieser Art können mit der Numerische Integration und Differenzierung app durchgeführt werden. Der Integrationsteil der allgemeinen numerischen Integrationsanwendung wurde unten kopiert, um das elektrische Feld und das elektrostatische Potential aus der Ladungsdichte zu berechnen.

$\large \frac{\rho(x)}{\epsilon_r\epsilon_0}=$  [V/m²]
im Bereich von $x_1=$  [m] bis $x_2=$  [m].

 $x$ [m]    $\large \frac{\rho(x)}{\epsilon_r\epsilon_0}$ [V/m²]

  

$\large \frac{\rho(x)}{\epsilon_r\epsilon_0}$ [V/m²]

$x$ [m]

Das elektrische Feld ist das Integral der Ladungsdichte,

$\large E(x)=\frac{1}{\epsilon_r\epsilon_0}\int\limits_{x_1}^{x}\rho(x')dx'+E(x_1)$.

$E(x_1)=$

Das Integral wird mit der Simpsonregel numerisch berechnet.

 $x$ [m]   $E(x)$ [V/m]

  

$E(x)$ [V/m]

$x$ [m]

Das elektrostatische Potential ist minus das Integral des elektrischen Feldes,

$\large \varphi(x) = -\int \limits_{x_1}^{x} E(x')dx' + \varphi(x_1).$

$\varphi(x_1)=$

 $x$ [m]    $\varphi(x)$ [V]

  

$\varphi$ [V]

$x$ [m]