Ladungsdichte → Elektrisches Feld → Elektrostatisches Potential

Manchmal ändern sich die Ladungsverteilung, das elektrische Feld und das elektrostatische Potential nur in eine Richtung. Dioden und Kondensatoren haben oft diesen Charakter. Es gibt zwei Kontaktebenen und das elektrische Feld steht senkrecht zu den Ebenen, sodass die Ladungsdichte und das elektrostatische Potential konstant bleiben, wenn man sich parallel zu den Ebenen bewegt. Auf dieser Seite wird ein Ausdruck für eine Ladungsdichte verwendet, der nur in $x-$Richtung variiert, und dieser wird integriert, um das entsprechende elektrische Feld und das elektrostatische Potential zu bestimmen. Die relevanten Gleichungen lauten,

$$\vec{E}(\vec{r})=-\nabla \varphi(\vec{r}),\qquad \text{and}\qquad \nabla\cdot\vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho(\vec{r})}{\epsilon_r\epsilon_0},$$

vereinfacht zu,

$E(x)=\int\limits_{x_1}^{x}\frac{\rho(x')}{\epsilon_r\epsilon_0}dx'+E(x_1), $

$\varphi(x) = -\int\limits_{x_1}^{x} E(x')dx'+\phi(x_1).$

Diese Art der Ladungsverteilung tritt häufig in Kondensatoren, Dioden, Solarzellen und Transistoren auf. Berechnungen dieser Art können mit der Numerische Integration und Differenzierung app durchgeführt werden. Der Integrationsteil der allgemeinen numerischen Integrationsanwendung wurde unten kopiert, um das elektrische Feld und das elektrostatische Potential aus der Ladungsdichte zu berechnen.

$\large \frac{\rho(x)}{\epsilon_r\epsilon_0}=$  [V/m²]
im Bereich von $x_1=$  [m] bis $x_2=$  [m].

 $x$ [m]    $\large \frac{\rho(x)}{\epsilon_r\epsilon_0}$ [V/m²]

  

$\large \frac{\rho(x)}{\epsilon_r\epsilon_0}$ [V/m²]

$x$ [m]

Das elektrische Feld ist das Integral der Ladungsdichte,

$\large E(x)=\frac{1}{\epsilon_r\epsilon_0}\int\limits_{x_1}^{x}\rho(x')dx'+E(x_1)$.

$E(x_1)=$

Das Integral wird mit der Simpsonregel numerisch berechnet.

 $x$ [m]   $E(x)$ [V/m]

  

$E(x)$ [V/m]

$x$ [m]

Das elektrostatische Potential ist minus das Integral des elektrischen Feldes,

$\large \varphi(x) = -\int \limits_{x_1}^{x} E(x')dx' + \varphi(x_1).$

$\varphi(x_1)=$

 $x$ [m]    $\varphi(x)$ [V]

  

$\varphi$ [V]

$x$ [m]