Elektrostatisches Potential → Elektrisches Feld → Ladungsdichte

Wenn das elektrostatische Potential nur in einer Richtung variiert (zum Beispiel könnte es in der $x$-Richtung variieren, aber in jeder $y-z$-Ebene konstant sein), dann sind die Gleichungen der Elektrostatik,

\[ \begin{equation} \vec{E}(\vec{r})=-\nabla \varphi(\vec{r}),\qquad \text{and}\qquad \nabla\cdot\vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho(\vec{r})}{\epsilon_r\epsilon_0}, \end{equation} \]

simplify to,

$E(x)= - \frac{d\varphi(x)}{dx}, $

$\rho(x) = -\epsilon_r\epsilon_0\frac{d^2\varphi(x)}{dx^2},$

Calculations of this sort can be performed with the Numerical integration and differentiation app. The differentiation part of this app has been copied below to calculate the electric field and charge density from the electrostatic potential.

$\varphi(x)=$  [V]
im Bereich von $x_1=$  bis $x_2=$  [m]

 $x$ [m]  $\varphi(x)$ [V]

  

$\varphi(x)$ [V]

$x$ [m]

Das elektrische Feld wird numerisch berechnet durch,

$E=-\frac{d\varphi}{dx}\approx -\frac{\varphi(x+\Delta x)-\varphi(x)}{\Delta x}.$

 $x$ [m]  $E$ [V/m]

  

$E$ [V/m]

$x$ [m]

Die Ladungsdichte wird numerisch berechnet durch,

$\frac{\rho}{\epsilon_r\epsilon_0}= \frac{dE}{dx}\approx \frac{E(x+\Delta x)-E(x)}{\Delta x}.$

 $x$ [m]  $\frac{\rho}{\epsilon_r\epsilon_0}$ [V/m²]

  

$\frac{\rho}{\epsilon_r\epsilon_0}$ [V/m²]

$x$ [x]

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