Elektrisches Feld einer Ladungsverteilung auf einer gekrümmten Linie

Gegeben sei ein Draht der Länge $L$ mit einer uniformen Ladungsdichte $\lambda$. Dieser Draht kann in verschiedene Formen gebogen werden. Das elektrostatische Potential $\varphi $, welches durch den Draht aufgebaut wird, kann bestimmt werden, indem der Draht in kurze Segmente geteilt wird und Beiträge aller Segmente aufsummiert werden. Die Segmente haben eine Länge $\Delta s$ und eine Ladung $\Delta q=\lambda\Delta s$. Deren Beitrag zum elektrostatischen Potential an der Position $\vec{r}$ ist:

$\large \varphi (\vec{r})=\sum \limits_{i=1}^{N} \frac{\Delta q}{4\pi \epsilon_0 |\vec{r}-\vec{r}_i|}$ [V].

Hier sind $\vec{r}_i=x_i\hat{x}+y_i\hat{y}+z_i\hat{z}$ die Positionen der Punktladungen entlang des Drahts und $|\vec{r}-\vec{r}_i|=\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2}$. Die Beziehung zwischen elektrischem Feld und elektrostatischem Potential ist $\vec{E} = -\nabla \varphi =-\frac{\partial \varphi }{\partial x}\hat{x} -\frac{\partial \varphi }{\partial y}\hat{y} -\frac{\partial \varphi }{\partial z}\hat{z}$.

$\large \vec{E}(\vec{r})=\sum \limits_{i=1}^{N} \frac{q_i(\vec{r}-\vec{r}_i)}{4\pi \epsilon_0 |\vec{r}-\vec{r}_i|^3}$ [V/m]

Die Lage und Form des Drahtes kann mit einer parametrischen Gleichung unter Verwendung eines Parameters $s$, der die Distanz entlang des Drahtes mißt, festgelegt werden. Beispielsweise wird ein gerader Draht von $\vec{r}_1$ nach $\vec{r}_2$ beschrieben durch:

$ \vec{r}_{wire}=(r_{1x}+s(r_{2x}-r_{1x}))\hat{x} + (r_{1y}+s(r_{2y}-r_{1y}))\hat{y} + (r_{1z}+s(r_{2z}-r_{1z}))\hat{z}$  mit $s=[0,1]$.

Für eine Drahtschleife des Radiuses $R$ in der $x$-$y$ Ebene an $z=0$:

$ \vec{r}_{wire}=R\cos(2\pi s)\hat{x} + R\sin(2\pi s)\hat{y} + 0\hat{z}$  mit $s=[0,1]$.

Für eine Drahtwendel mit 10 Windungen

$ \vec{r}_{wire}=R\cos(2\pi s)\hat{x} + R\sin(2\pi s)\hat{y} + \frac{s}{n} \hat{z}$  mit $s=[0,10]$,

wobei $n$ die Anzahl der Windungen per Meter auf der Wendel ist. Das folgende Formular kann benutzt werden, um das elektrische Feld an der Position $\vec{r}$ zu berechnen.

Die Ladungsdichte ist:

$\lambda=$ [C/m].

In Position, an der $\varphi $ und $\vec{E}$ berechnet werden:

$\vec{r}=$ $\hat{x} +$ $\hat{y} +$ $\hat{z}$ [m].

Die parametrischen Gleichungen zur Beschreibung des Drahtes:

$\vec{r}_{wire}=$ $\hat{x} +$ $\hat{y} +$ $\hat{z}$ [m].

$s$ ist definiert von $s=$ bis $s=$ in Segmenten.

$\varphi =$ [V]  $L=$ [m].

$\vec{E}=$ $\hat{x} +$ $\hat{y} +$ $\hat{z}$ [V/m].

 

Plot the plane at

Je länger der Draht, desto mehr Segmente werden für eine genaue Antwort benötigt. Wenn der Draht eine Spule ist, sind etwa 300 Segmente pro Windung angemessen.

Die mathematischen Funktionen, die verwendet werden können, sind unten aufgelistet. Die Multiplikation muss mit einem '*'-Symbol angegeben werden, 3*cos(x) nicht 3cos(x). Potenzen werden mit der 'pow'-Funktion angegeben: x² ist pow(x,2) und nicht x^2.

  • abs(x) - Betrag
  • acos(x) - Arkuskosinus
  • asin(x) - Arkussinus
  • atan(x) - Arkustangens
  • cos(x) - Kosinus
  • exp(x) - ex
  • log(x) - Logarithmus
  • pi = 3.141592653589793
  • pow(x,y) - berechnet xy
  • round(x) - rundet auf die nächste ganze Zahl
  • sin(x) - Sinus
  • sqrt(x) - Wurzel
  • tan(x) - Tangens
  • H(x) - Heaviside-Funktion
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