Divergence

Da mit jeder Punktladung ein elektrisches Feld verbunden ist, können Sie die Gesamtladung in einem Volumen erkennen, indem Sie die aus diesem Volumen austretenden elektrischen Feldlinien betrachten. Wenn mehr elektrische Feldlinien nach außen als nach innen zeigen, ist die Ladung im Volumen positiv, und wenn mehr elektrische Feldlinien nach innen als nach außen zeigen, ist die Ladung im Volumen negativ. Dies kann mathematisch mit der Divergenz angegeben werden. Die Divergenz des elektrischen Feldes ist,

$$\nabla \cdot \vec{E} = \left( \frac{\partial }{\partial x}\hat{x} +\frac{\partial }{\partial y}\hat{y} +\frac{\partial }{\partial z}\hat{z}\right)\cdot \vec{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x} +\frac{\partial E_y}{\partial y} +\frac{\partial E_z}{\partial z}.$$

If $\frac{\partial E_x}{\partial x} > 0$, es zeigen mehr von der $x$-Komponente der elektrischen Feldlinien aus dem Volumen heraus als hinein.

Die genaue Beziehung zwischen der Divergenz des elektrischen Feldes und der Ladung ist durch das Gauß'sche Gesetz gegeben,

$$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}.$$

Hier ist $\rho$ die Ladungsdichte und $\epsilon_0 = 8,854187817 \times 10^{-12}$ F/m ist die Permittivitätskonstante. Das Gauß'sche Gesetz kann auch in integraler Form ausgedrückt werden,

$$\int_S\vec{E}\cdot d\vec{s} =\frac{q}{\epsilon_0}.$$

Hier ist $S$ eine geschlossene Oberfläche, die sich aus vielen Oberflächenelementen $d\vec{s}$ zusammensetzt, deren Größe gleich der Fläche des Oberflächenelements ist, und eine Richtung senkrecht zur Oberfläche hat $q$ ist die Gesamtladung, die im Inneren der Oberfläche eingeschlossen ist.


Gauss's law

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