Elektrisches Feld einer Reihe von gleichförmig geladener paralleler Ebenen

Es ist nicht wichtig, die Formeln auf dieser Seite auswendig zu lernen. Wichtig ist, dass, wenn Sie eine Ladungsdichte in Formen brechen können, für die die elektrostatischen Potentiale und elektrischen Felder bekannt sind (wie Punktladungen, Linienladungen oder Blattladungen), es möglich ist, die elektrostatischen Potentiale und elektrischen Felder zu addieren, um das gesamte elektrostatische Potential und elektrische Feld zu bestimmen. Dies wird anhand der Betrachtung einer Sammlung paralleler, gleichförmig geladener Ebenen veranschaulicht.

Sei eine gleichförmig geladene Ebene mit der Ladungsdichte $\sigma$ [C/m²] gegeben, die senkrecht zur $x-$Achse orientiert sei. Das elektrostatische Potential lautet:

$\large \varphi (x)= \frac{-|x-x_0|\sigma}{2\epsilon_0 }$ [V].

Hier ist $x_0$ der Ort der Ebene. Das elektrische Feld hat nur eine Komponente in $x-$Richtung, $E_x=-\frac{d\varphi}{dx}$,

$\large E_x(x)=\frac{\text{sgn}(x-x_0)\sigma}{2 \epsilon_0 }$ [V/m],

wobei $\text{sgn}(x)$ die Vorzeichenfunktion ist: $\text{sgn}(x<0) = -1$, $\text{sgn}(x>0) = 1$.

Gibt es weitere Ebenen mit Ladungsdichten $\sigma_i$, die alle senkrecht zur $x-$Achse orientiert sind und sich jeweils an den Orten $x_i$ befinden, dann wird das folgende elektrostatische Potential durch diese Ebenenanordnung hervorgerufen:

$\large \varphi (x)=\sum \limits_{i=1}^{N} \frac{-|x-x_i|\sigma_i}{2 \epsilon_0 }$ [V].

Das entsprechende elektrische Feld lautet:

$$ E_x(x)=\sum \limits_{i=1}^{N} \frac{\text{sgn}(x-x_i)\sigma_i}{2 \epsilon_0 }\quad\text{V/m}.$$

Das folgende Formular lässt Sie die Ladungsdichten und Positionen von bis zu 10 Ebenen festlegen und berechnet elektrostatisches Potential und elektrisches Feld als Funktion des Ortes $x$.

$\sigma_{1}=$

[C/m²]  

$x_{1}=$

[m]

$\sigma_{2}=$

[C/m²]  

$x_{2}=$

[m]

$\sigma_{3}=$

[C/m²]  

$x_{3}=$

[m]

$\sigma_{4}=$

[C/m²]  

$x_{4}=$

[m]

$\sigma_{5}=$

[C/m²]  

$x_{5}=$

[m]

$\sigma_{6}=$

[C/m²]  

$x_{6}=$

[m]

$\sigma_{7}=$

[C/m²]  

$x_{7}=$

[m]

$\sigma_{8}=$

[C/m²]  

$x_{8}=$

[m]

$\sigma_{9}=$

[C/m²]  

$x_{9}=$

[m]

$\sigma_{10}=$

[C/m²]  

$x_{10}=$

[m]

$\phi(x)$

  

$E(x)$

$x$

$x$