Elektrisches Feld einer linearen Ladungsverteilung

Es ist nicht wichtig, die Formeln auf dieser Seite auswendig zu lernen. Wichtig ist, dass wenn man eine Ladungsdichte in Formen zerlegen kann, für die die elektrostatischen Potentiale und elektrischen Felder bekannt sind (wie Punkt- und Linienladungen), ist es möglich, die elektrostatischen Potentiale und elektrischen Felder zu addieren, um das gesamte elektrostatische Potential und elektrische Feld zu bestimmen. Dies wird durch die Betrachtung einer Sammlung paralleler Linienladungen veranschaulicht.

Gegeben sei ein Stab mit einer uniformen Ladungsdichte $\lambda$, der parallel zur $z$-Achse orientiert ist. Das elektrostatische Potential außerhalb des Stabes ist:

$\large \varphi (\vec{r})= \frac{-\lambda}{2\pi \epsilon_0 }\ln\left(|\vec{r}-\vec{r}_{\text{rod}}|\right)= \frac{-\lambda}{2\pi \epsilon_0 }\ln\left(\sqrt{(x-x_{\text{rod}})^2+(y-y_{\text{rod}})^2}\right)$ [V].

Dabei ist $\vec{r}_{\text{rod}}=x_{\text{rod}}\hat{x}+y_{\text{rod}}\hat{y}$ die Position des Stabes in der $x$-$y$ Ebene. Die Beziehung zwischen elektrischem Feld und elektrostatischem Potential ist $\vec{E} = -\nabla \varphi =-\frac{\partial \varphi }{\partial x}\hat{x} -\frac{\partial \varphi }{\partial y}\hat{y} -\frac{\partial \varphi }{\partial z}\hat{z}$. Da das Potential nicht von $z$ abhängt, ist das elektrische Feld in $z$-Richtung Null.

$\large \vec{E}(\vec{r})=\frac{\lambda(\vec{r}-\vec{r}_{\text{rod}})}{2\pi \epsilon_0|\vec{r}-\vec{r}_{\text{rod}}|^2}$ [V/m].

Das elektrische Feld lautet in $x$ und $y$ Koordinaten:

$\large \vec{E}(\vec{r})= \frac{\lambda(x-x_{\text{rod}})}{2\pi \epsilon_0 \left((x-x_{\text{rod}})^2+(y-y_{\text{rod}})^2\right)}\hat{x}+\frac{\lambda(y-y_{\text{rod}})}{2\pi \epsilon_0 \left((x-x_{\text{rod}})^2+(y-y_{\text{rod}})^2\right)}\hat{y}$ [V/m]

Sind mehrere Stäbe mit den Ladungsdichten $\lambda_i$ und Positions $\vec{r}_i$ parallel zur $z$-Achse in der $x$-$y$ Ebene orientiert, dann ist das dadurch verursachte elektrostatische Potential:

$\large \varphi (\vec{r})=\sum \limits_{i=1}^{N} \frac{-\lambda_i}{2\pi \epsilon_0 }\ln\left(|\vec{r}-\vec{r}_i|\right)=\sum \limits_{i=1}^{N} \frac{-\lambda_i}{2\pi \epsilon_0 }\ln\left(\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2}\right)$ [V].

Das entsprechende elektrische Feld ist:

$\large \vec{E}(\vec{r})=\sum \limits_{i=1}^{N} \left[ \frac{\lambda_i(x-x_i)}{2\pi \epsilon_0 \left((x-x_i)^2+(y-y_i)^2\right)}\hat{x}+\frac{\lambda_i(y-y_i)}{2\pi \epsilon_0 \left((x-x_i)^2+(y-y_i)^2\right)}\hat{y}\right]$ [V/m].

Im folgenden Formular können Sie Ladungsdichten und Positionen von bis zu 10 Stäben angeben. Für diese wird das elektrostatische Potential und das elektrische Feld am Ort $\vec{r}$ berechnet.

$\vec{r} = $ $\hat{x} + $ $\hat{y}$ [m]

$\varphi (\vec{r}) = $ [V]

$\vec{E}(\vec{r}) = $ $\hat{x} + $ $\hat{y}$ [V/m]

$\lambda_{1}=$

[C/m]  

$\vec{r}_{1}=$

$\hat{x} + $ $\hat{y}$ [m]

$\lambda_{2}=$

[C/m]  

$\vec{r}_{2}=$

$\hat{x} + $ $\hat{y}$ [m]

$\lambda_{3}=$

[C/m]  

$\vec{r}_{3}=$

$\hat{x} + $ $\hat{y}$ [m]

$\lambda_{4}=$

[C/m]  

$\vec{r}_{4}=$

$\hat{x} + $ $\hat{y}$ [m]

$\lambda_{5}=$

[C/m]  

$\vec{r}_{5}=$

$\hat{x} + $ $\hat{y}$ [m]

$\lambda_{6}=$

[C/m]  

$\vec{r}_{6}=$

$\hat{x} + $ $\hat{y}$ [m]

$\lambda_{7}=$

[C/m]  

$\vec{r}_{7}=$

$\hat{x} + $ $\hat{y}$ [m]

$\lambda_{8}=$

[C/m]  

$\vec{r}_{8}=$

$\hat{x} + $ $\hat{y}$ [m]

$\lambda_{9}=$

[C/m]  

$\vec{r}_{9}=$

$\hat{x} + $ $\hat{y}$ [m]

$\lambda_{10}=$

[C/m]  

$\vec{r}_{10}=$

$\hat{x} + $ $\hat{y}$ [m]