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Problem 1
Die Dimensionsanalyse ist eine Methode, um zu prüfen, ob ein hergeleiteter Ausdruck möglicherweise falsch ist. Die folgenden Variablen sind definiert:
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$x$, $L$, und $d$ sind Längen und haben die Einheit [m] $t$ und $\tau$ sind Zeiten und haben die Einheit [s] $F$ ist eine Kraft und hat die Einheit [N] $f$ ist eine Frequenz und hat die Einheit [Hz] $\omega$ ist eine Winkelfrequenz und hat die Einheit [rad/s] $v$ ist eine Geschwindigkeit und hat die Einheit [m/s] $a$ ist eine Beschleunigung und hat die Einheit [m/s²] $E$ ist eine Energie und hat die Einheit [J] |
$m$ ist eine Masse und hat die Einheit [kg] $T$ ist die absolute Temperatur und hat die Einheit [K] $V$ ist eine Spannung und hat die Einheit [V] $c$ ist die Lichtgeschwindigkeit und hat die Einheit [m/s] $e$ ist die Elementarladung und hat die Einheit [C] $\hbar$ ist die Plancksche Konstante und hat die Einheit [J s] $k_B$ ist die Boltzmann-Konstante und hat die Einheit [J/K] |
Bei bestimmten Problemen muss berechnet werden. Identifizieren Sie die Ausdrücke, welche die richtigen Einheiten haben. Dabei können mehrere Ausdrücke richtig sein, d.h. also auch alle oder gar keiner.
Problem 2
Eine Kugel mit der Masse kg ist mit einer Feder mit Federkonstante N/m verbunden. Es wirkt auf die Masse eine Reibungskraft die der Bewegungsrichtung entgegensetzt ist: $F_{\text{drag}}=-bv_x^3$ N, wobei $b=$ N s³/m³ die Reibungskonstante ist. Wir nehmen dabei an, dass sich das Objekt horizontal entlang der $x$-Achse bewegt.
Welche Differentialgleichung muss gelöst werden, um die Bewegung der Kugel bestimmen zu können?
$ \large \frac{dx}{dt}=$ | $v_x$ | |||
$ \large \frac{dv_x}{dt}=$ | ||||
Die Feder wird 2 cm von ihrer Ruheposition ausgelenkt und losgelassen.
Bei $t=0$ s: $x=0.02$ m, $\frac{dx}{dt}=0$ m/s. Wo ist der Kugel zur Zeit $t=3$ s?
Problem 3
Ein Klotz der Masse kg gleitet eine schiefe Ebene mit konstanter Geschwindigkeit $|\vec{v}|=$ cm/s herab. Der Neigungswinkel $\theta$ ist °.
(a) Wie lautet die Geschwindigkeit des Klotzes?
$\vec{v} = $ $\hat{x} + $ $\hat{y} + 0\,\hat{z}$ [m/s]
(b) Wie lautet die Beschleunigung des Klotzes?
$\vec{a} = $ $\hat{x} + $ $\hat{y} + $ $\hat{z}$ [m/s²]
(c) Wieviel Energie wird pro Sekunde in Wärme umgewandelt?
$E_{\text{therm}}/\text{s} = $ [W]
Die Erdbeschleunigung ist 9.81 m/s².
Problem 4
Das elektrische Potential sei beschrieben durch:
$$\varphi(x,y,z)= 1000\left( 1+\exp \left( -xyz\right)\right)\quad\text{V}$$Wie lautet das elektrische Feld?
$\vec{E} = $ | $\hat{x}$ | |
$ + $ | $\hat{y}$ | |
$ + $ | $\hat{z}$ [V/m] |
Problem 5
Zweidimensionale Wellen werden von einer punktförmigen Quelle, die sich an $\vec{r}_0=-2\hat{x}$ [m] befindet ausgesendet. Die Funktion, die die Ausbreitung der Welle beschreibt, lautet im komplexer Schreibweise,
Hier werden $z$ und $r$ in Metern und $t$ in Sekunden angegeben.
Wie groß ist die Wellenlänge der Wellen?
$\lambda=$ [m]
Wie lautet die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen?
$v=$ [m/s]
Wie lautet die Amplitude der Schwingung an der Stelle $\vec{r}=0$?
$|z_{\text{max}}|=$ [m]
Problem 6
Eine konvexe Grenzfläche hat einen Radius von $R=$ 5 cm. Ein an der Position $o$ $(x_0=$ -3 cm, $y_0=$ 1 cm$)$ emittierter Lichtstrahl trifft auf diese Fläche am Punkt $P$ $(x_P=$ cm, $y_0=$ cm$)$. Der Brechungsindex ist $n_1=1$ links und $n_2=$ 1. rechts der Grenzfläche.
(a) Wie groß ist der Winkel θ2?
(b) Auf der linken Seite der Grenzfläche ist die Frequenz und Wellenlänge des Lichtstrahls $f=5\times 10^{14}$ Hz and $\lambda=600$ nm. Wie groß sind Frequenz und Wellenlänge auf der rechten Seite?