Fähigkeiten


Einheiten

  • Sie müssen in der Lage sein, Einheiten passend umzuwandeln. Zum Beispiel müssen Sie es beherrschen [km/h] in [m/s] umzuwandeln.
  • Dimensionsanalyse: Sei $m$ [kg] die Masse, $L$ [m] die Länge, $t$ [s] die Zeit und $F$ [N] die Kraft. Gefragt ist die Geschwindigkeit. Die Ausdrücke $3L/t$ und $\pi\frac{Ft}{m}$ könnten korrekt sein, da sie die Einheit [m/s] haben. Die Ausdrücke $3Lt$ und $\pi\frac{F}{m}$ müssen falsch sein, da sie nicht die Einheit [m/s] haben. Beim Ableiten eines Ausdrucks sollten Sie also immer auf die Einheiten achten. Sind die Einheiten falsch, haben Sie einen Fehler gemacht.

Vektoren

Sie müssen in der Lage sein:

  • zwei Vektoren zu addieren $\vec{A}+\vec{B}=(A_x+B_x)\hat{x}+ (A_y+B_y)\hat{y}+ (A_z+B_z)\hat{z}$;
  • die Länge eines Vektors zu bestimmen, $|\vec{A}|=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}$;
  • den Einheitsvektor, der in die Richtung des ursprünglichen Vektors zeigt, zu bestimmen, $\hat{A}=\frac{\vec{A}}{\left|\vec{A}\right|}$;
  • den Vektor in seine $x$-, $y$-, und $z$-Komponenten zu zerlegen;
  • das innere Produkt zweier Vektoren zu berechnen, $\vec{A}\cdot\vec{B}=\left|\vec{A}\right|\left|\vec{B}\right|\cos(\theta)=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z$;
  • das Kreuzprodukt zweier Vektoren zu berechnen, $\vec{A}\times\vec{B}=(A_yB_z-A_zB_y)\hat{x}+ (A_zB_x-A_xB_z)\hat{y}+ (A_xB_y-A_yB_x)\hat{z}$.

App: Alles über die Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$


Kräfte

Sie sollten die Formeln für die Gravitationskraft, die Coulombkraft, die lineare Federkraft (Hookesches Gesetz), die Lorentzkraft und die Reibungskraft kennen. Siehe Formelsammlung → Punktmechanik.


Integrieren und Differenzieren

Sie können Ihre Arbeit mit der App für numerische Integration und Differentiation überprüfen.


Mechanik punktartiger Teilchen

Bei gegebener Position $\vec{r}$ [m], Geschwindigkeit $\vec{v}$ [m/s], Beschleunigung $\vec{a}$ [m/s²], oder Kraft $\vec{F}$ [N] als Funktion der Zeit eines Teilchens, müssen Sie in der Lage dazu sein, jede der vier Grössen durch Integrieren oder Ableiten der anderen Grössen zu erhalten.

App: Numerische Integration und Differentiation von Funktionen in Abhängigkeit von $t$.


Arbeiten mit Daten

Manchmal erhält man Daten in Form von Textspalten. Sie sollten in der Lage sein:

  • Erwartungswert und Standardabweichung jeder Spalte zu berechnen;
  • alle Werte einer Spalte mit einem Wert zu multiplizieren (z.B. könnte eine Spalte die Beschleunigung eines Teilchens zu verschiedenen Zeiten repräsentieren. Multipliziert mit der Masse liefert das die jeweilige Kraft);
  • die Daten einer Spalte zu plotten;
  • die Daten einer Spalte numerisch zu integrieren;
  • die Daten einer Spalte numerisch zu differenzieren;
  • die Daten von einem Format, welches '.' als Dezimaltrennzeichen nutzt in ein Format, welches ',' als Dezimaltrennzeichen nutzt umzuwandeln.

Apps: Erwartungswert und Standardabweichung, Numerische Integration und Differentiation von Funktionen in Abhängigkeit von $t$, Numerische Integration und Differentiation von Funktionen in Abhängigkeit von $x$, Dezimal Punkt ↔ Beistrich.


Gleichungen mit einer Unbekannten

Sie müssen in der Lage dazu sein, Gleichungen mit nur einer Unbekannten zu lösen. Bei zwei gegebenen Funktionen $y_1(x)$ und $y_2(x)$, müssen Sie die Variable $x$ für die gilt $y_1(x)=y_2(x)$ finden können. Für manche Probleme muss die Lösung numerisch gefunden werden. Beispielsweise sollten Sie es beherrschen die Lösung $x$ zu finden, die $3x^3-2\sin x =0$ löst.

Apps: Graphische Lösungen, Numerische Integration und Differentiation von Funktionen in Abhängigkeit von $x$.


Differenzialgleichungen

Viele Systeme die sich mit der Zeit verändern, lassen sich als Differenzialgleichungen darstellen. Dies beinhaltet Aktienkurse, Tierpopulationen, Maschinenvibrationen und die Bewegungen eines Teilchens. Dieser Kurs wird sich darauf beschränken die Bewegung von Teilchen in 1, 2 und 3 Dimensionen zu behandeln. Die Kraft eines solchen Teilchens, welches in einer Dimension bewegt ist, lässt sich durch seinen Ort $x$, seine Geschwindigkeit $v_x$, und die Zeit $t$ beschreiben. Ist die Kraft eines Teilchens bekannt, lässt sich das Gesetz von Newton als Differenzialgleichung schreiben:

\[ \begin{equation} \large m\frac{d^2x}{dt^2}=F_x(v_x,x,t). \end{equation} \]

Mit $F$ der Kraft und $m$ der Masse. Dies lässt sich ebenfalls als zwei Differenzialgleichungen erster Ordnung darstellen,

$\large \frac{dx}{dt}=v_x$ und $\large \frac{dv_x}{dt}=F(x,v_x,t)/m.$

Bei gegebenen Anfangsbedingungen, kann die Trajektorie des Teilchens durch numerisches Lösen der Differenzialgleichung gefunden werden. Wenn die Kraft proportional zu $x$ und proportional zu $v_x$ ist, handelt es sich um eine lineare Differenzialgleichung deren Lösung mittels folgender App gefunden werden kann: Analytische Lösung linearer Differenzialgleichungen zweiter Ordnung. Für eine beliebige Kraft kann die Differenzialgleichung mittels der App für numerische Lösungen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung gelöst werden.

Ein Teilchen, dass sich in 3 Dimensionen bewegt wird durch 6 Variablen beschrieben: $x$, $y$, $z$, $v_x$, $v_y$, und $v_z$. Wenn die Kraft des Objekts in Hinsicht dieser Variablen bekannt ist, kann die Bewegung des Teilchens einfach mittels folgender App gefunden werden: Numerische Lösungen von Differenzialgleichungen sechster Ordnung.

Apps: Analytische Lösungen von linearen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung, Numerische Lösungen von Differenzialgleichungen zweiter Ordnung, Numerische Lösungen von Differenzialgleichungen sechster Ordnung.


Parametrisierung

Sie sollten es beherrschen Parameterdarstellungen zu benützen um Kurven darzustellen. Beispielsweise beschreibt $x=\cos (s)$, $y=\sin (s)$, $s=[0,\pi ]$ einen halben Kreis und $x=2\cos (s)$, $y=3\sin (s)$, $s=[0,2\pi ]$ eine Ellipse. $s$ ist in diesem Fall der Parameter.

Apps: Elektrisches Feld einer gleichmäßig geladenen gekrümmten Linie, Gesetz von Biot-Savart.


Arbeit und Energie

Geleistete Arbeit ist definiert als,

\[ \begin{equation} \large W=\int\limits_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int\limits_{x_1}^{x_2} F_xdx+\int\limits_{y_1}^{y_2} F_ydy+\int\limits_{z_1}^{z_2} F_zdz \end{equation} \]

Dies ist ein Kurvenintegral. Sie müssen dieses Integral ausführen können, wenn die Kraft als Funktion des Ortes bekannt ist (wie in diesem Beispiel) oder wenn die Kraft als Funktion des Ortes, der Geschwindigkeit und der Zeit bekannt und der Ort als Funktion der Zeit gegeben ist (wie in diesem Beispiel). Sie müssen die Leistung durch Ableiten der Arbeit und die Arbeit durch Integrieren der Leistung erhalten können. Sie müssen wissen was eine konservative Kraft ist und die potentielle Energie einer solchen konservativen Kraft bestimmen können. Weiters müssen Sie die kinetische Energie eines Teilchens, $E_{kin} = \frac{mv^2}{2}$ finden können. Diese Energie bleibt erhalten. Die geleistete Arbeit beinhaltet die Änderung der kinetischen plus die Änderung der potentiellen Energie, sowie die Arbeit die benötigt wird um gegen nichtkonservative (reibungsbedingte) Kräfte zu wirken.

Apps: Numerische Integration und Differentiation von Funktionen in Abhängigkeit von $t$, Numerische Integration und Differentiation von Funktionen in Abhängigkeit von $x$.


Ableitungen von skalaren Feldern und Vektorfeldern

Ein skalares Feld ist eine Funktion die jedem Punkt im Raum einen Wert zuweist. Temperatur, Druck, Dichte, Stoffmengenkonzentration, das elektrostatische Potential, und die Ladungsdichte sind skalare Felder. Ein Vektorfeld ist eine Funktion die jedem Punkt im Raum einen Vektor zuweist. Elektrische Felder und magnetische Felder sind Vektorfelder. Der Gradient eines skalaren Feldes $\phi$ ist ein Vektorfeld. Minus der Gradient des Druckes zeigt in die Richtung, in die der Wind bläst (hoher Druck zu niedrigem Druck). Minus der Gradient der Temperatur zeigt in die Richtung, in die Hitze fließt (hohe Temperatur zu niedriger Temperatur). Minus der Gradient des elektrischen Potentials zeigt in die Richtung des eleketrischen Feldes (von hohem Potential zu niedrigem).

Die Divergenz eines Vektorfelds $\vec{A}$ ist ein skalares Feld. Die Divergenz sagt aus, ob sich die Vektoren in einem Vektorfeld auseinander oder zusammen bewegen. Stellen Sie sich eine kleine Kugel an einem Punkt im Raum vor. Wenn mehr Vektoren auf der Oberfläche der Kugel nach außen zeigen ist die Divergenz positiv. Wenn mehr Vektoren auf der Oberfläche der Kugel nach innen zeigen ist die Divergenz negativ.

Der Rotor eines Vektorfelds beschreibt wie sich die Vektoren um einen bestimmten Punkt drehen.

Der Gradient eines skalaren Feldes ist ein Vektorfeld,

\begin{equation} \large \nabla \phi = \frac{\partial \phi }{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial \phi }{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial \phi }{\partial z}\hat{z}. \end{equation}

Allgemein hängt das elektrostatische Potential von $x$, $y$, and $z$ ab. Um die partielle Ableitung $\frac{\partial \phi }{\partial x}$ zu bilden, leitet man nach $x$ ab, während $y$ und $z$ wie Konstanten behandelt werden.

Die Divergenz eines Vektorfelds ist ein skalares Feld,

\begin{equation} \large \nabla \cdot \vec{A} = \left( \frac{\partial }{\partial x}\hat{x} +\frac{\partial }{\partial y}\hat{y} +\frac{\partial }{\partial z}\hat{z}\right)\cdot \vec{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x} +\frac{\partial A_y}{\partial y} +\frac{\partial A_z}{\partial z}. \end{equation}

Der Rotor eines Vektorfelds ist wieder ein Vektorfeld,

\begin{equation} \large \nabla\times\vec{A}=\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\hat{x}+ \left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)\hat{y}+ \left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\hat{z}. \end{equation}

Elektrostatik

Die Elektrostatik beschreibt die Zusammenhänge zwischen der Ladungsverteilung, dem elektrischen Feld und dem elektrostatischen Potential. Aus einer gegebenen Ansammlung von Punktladungen, müssen Sie das elektrische Feld und das elektrostatische Potential berechnen können. Die benötigten Gleichungen finden Sie in der Formelsammlung. Sie können ein App zur Berechnung des elektrischen Felds und des elektrostatischen Potentials einer Ansammlung von Punktladungen benützen.

Betrachtet man sehr viele Punktladungen ist es praktisch die Ladungsdichte $\rho$ [C/m³] zu betrachten um Ladungsverteilungen zu beschreiben. Die Berechnung in die Richtung $\varphi(\vec{r}) \rightarrow \vec{E}(\vec{r}) \rightarrow \rho(\vec{r})$ ist trivial. Benützen Sie einfach die Definitionen des Gradienten und der Divergenz, $\vec{E}(\vec{r})=-\nabla \varphi(\vec{r})$ und $\nabla\cdot\vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho(\vec{r})}{\epsilon_r\epsilon_0}$. Die Berechnung in die andere Richtung $\rho(\vec{r}) \rightarrow \vec{E}(\vec{r}) \rightarrow \varphi(\vec{r})$, ist schwieriger, da folgende Integrale gelöst werden müssen,

\[ \begin{equation} \large \vec{E}(\vec{r})= \int\frac{\rho(\vec{r})}{4\pi \epsilon_r \epsilon_0}\frac{\vec{r}}{ |\vec{r}|^3}d^3r \hspace{1cm}\text{[V/m]}, \end{equation} \]

und,

\[ \begin{equation} \large \varphi (\vec{r})=\int \frac{\rho(\vec{r})}{4\pi \epsilon_0 |\vec{r}|}d^3r\hspace{1cm}\text{[V]}. \end{equation} \]

Hängt das elektrische Feld oder das elektrostatische Potential nur von einer Variable $x$ ab, können die Integrale numerisch mit der App für numerische Integration gelöst werden: $E(x) =\frac{1}{ \epsilon_r \epsilon_0} \int \rho(x)dx$ und $\varphi (x)=-\int E(x)dx$.

Einige Lösungen in zwei oder drei Dimensionen sind wegen ihrer Symmetrie bekannt: eine unendlich lange, gleichmäßig geladene Linie, ein unendlich langer, gleichmäßig geladener Zylinder, ein unendlich langer, gleichmäßig geladener Zylindermantel , eine unendlich große, gleichmäßig geladene Ebene, eine geleichmäßig geladene Kugel, und eine gleichmäßig geladene Kugelschale. Die benötigten Ausdrücke finden Sie in der Formelsammlung.

Apps: Elektrisches Feld produziert von einer Ansammlung von Punktladungen, Elektrisches Feld produziert von einer gleichmäßig geladenen gekrümmten Linie , Elektrisches Feld erzeugt von einer Ansammlung gleichmäßig geladener paralleler Linien.


Magnetostatik

Die Magnetostatik beschreibt Magnetfelder, welche durch konstante elektrische Ströme erzeugt werden. Ist die Stromverteilung bekannt, kann das magnetische Feld mit Hilfe des Gesetzes von Biot-Savart berechnet werden,

\begin{equation} \large \vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{I d\vec{r}_{wire} \times (\vec{r}-\vec{r}_{wire})}{|\vec{r}-\vec{r}_{wire}|^3}\hspace{1cm}\text{[T]}. \end{equation}

Im Allgemeinen muss dieses Integral numerisch berechnet werden, es gibt jedoch zwei Spezialfälle: ein unendlich langes, gerades Kabel und eine Zylinderspule. Die Gleichungen für die beiden Fälle finden Sie in der Formelsammlung.

Ist das Magnetfeld erst bekannt, kann daraus die Kraft auf ein stromführendes Kabel berechnet werden. Diese Kraft berechnet man, indem man die das Lorentzkraftgesetz $\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}$ für jedes Teilchen mit Ladung $q$ und Geschwindigkeit $\vec{v}$, was den Strom ergibt, aufsummiert. Dies ergibt die Gleichungen für die Kraft auf ein Kabel, wie sie in der Formelsammlung gefunden werden können.

Wenn das Magnetfeld bekannt ist, kann die Stromdichte $\vec{J}$ mittels dem Gesetz von Ampère berechnet werden, $\nabla\times\vec{B}=\mu_0 \vec{J}$. Diese Gleichung kann in eine Form umgeschrieben werden, sodass das Kurvenintegral des Magnetfeldes, entlang einer Schleife $C$ mit dem Strom $I_{enc}$ durch die Schlaufe in Relation gebracht wird,

\begin{equation} \large \oint\limits_{C}\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I_{enc}. \end{equation}

App: Gesetz von Biot-Savart.


Schwingungen

Jede Schwingung, die wir hier betrachten, kann mit Hilfe von Differenzialgleichungen beschrieben werden. Sie sollten fähig sein die jeweiligen Apps zur Lösung von Differenzialgleichungen anzuwenden um Schwingungen zu bestimmen.

Oft ist es hilfreich komplexe Zahlen zu verwenden, um Schwingungen zu beschreiben. Ein Punkt auf einer Kreisbahn in der komplexen Ebene hat einen Realteil der sinusförmige Schwingungen ausführt . Wenn wir nun also eine sinusförmige Schwingung sehen, können wir diese immer mit einer Kreisbewegung in der komplexen Ebene asoziieren. Mathematisch wird dies durch die Euler-Formel ausgedrückt, $e^{i\omega t} = \cos(\omega t) + i \sin(\omega t)$. Sie müssen wissen, wie man komplexe Zahlen zum Berechnen einer Resonanzkurve verwendet.


Partielle Differenzialgleichungen

Partielle Differenzialgleichungen beinhalten Ableitungen nach dem Ort und der Zeit. Sie beschreiben Phänomene wie beispielsweise das Wetter, welches abhänig von Ort und Zeit ist. Eine wichtige partielle Differenzialgleichungen, die Sie kennen sollten, ist die Wellengleichung,

\begin{equation} \large \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}. \end{equation}

Harmonische Lösungen der Wellengleichung haben die Form, $u=A\cos(kx-\omega t)$. Sie sollten dazu in der Lage sein diese abzuleiten, um $\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}$ und $\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$ zu bestimmen.


Die Superposition von Wellen

Wellen sind abhängig vom Ort und der Zeit. Wenn es mehr als eine Quelle gibt, sollten Sie die beiden Wellen addieren und die entstehende Welle bestimmen können. Um das zeitabhängige Interferenzmuster zu berechnen, addieren Sie einfach die Realteile, wie es in der folgenden App gemacht wurde: Die Interferenz von Oberflächenwellen. Das Gesetz von Snell, welches beschreibt wie Lichtstrahlen an Oberflächen gebeugt werden, wurde abgeleitet, indem ebene Wellen addiert wurden.

Um das zeitunabhängige Interferenzmuster zu berechnen, ist es gängig ein komplexes, skalares Feld zu benützen um die Wellen zu beschreiben. Ein komplexes, skalares Feld weist jedem Punkt im Raum eine komplexe Zahl zu. Der Realteil dieser komplexen Zahl beschreibt die Schwingung an jedem Punkt im Raum. Die komplexen, skalaren Felder der Wellen aller Quellen werden addiert und die Intensität wird berechnet: $I\propto\mathcal{A}^*\mathcal{A}$, wobei $\mathcal{A}$ die Summe der komplexen Felder ist. Hier sehen Sie, wie das Intensitätsmuster für einen Spalt, zwei schmale Spalte, viele schmale Spalte, und zwei Spalte mit endlicher Breite berechnet wurden.


Optik

Sie müssen den Pfad, dem ein Lichtstrahl durch ein optisches System aus Linsen und Spiegeln folgt, berechnen können. Das Gesetz von Snell beschreibt wie Lichstrahlen an Oberflächen gebeugt werden. Die für dünne Linsen beschreibt, wie Licht an dünnen Linsen gebeugt wird.

Apps: Brechung, Brechnung an kugelförmigen Oberflächen (1), Brechnung an kugelförmigen Oberflächen (2), Reelle und virtuelle Bilder, Dünne Linsen Gleichung, Dicke Linsen, Optische Instrumente, Strahlenverfolgung mit der Transfermatrixmethode.