Reine Resonanz

Wird eine ungedämpfte Schwingung mit ihrer Resonanzfrequenz $\omega = \sqrt{k/m}$ getrieben, wächst die Lösung kontinuierlich mit der Zeit. Dies wird als reine Resonanz bezeichnet. Die Differentialgleichung, die die reine Resonanz beschreibt, lautet:

$$m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = F_0\cos(\omega t).$$

Die Lösung hat die Form

$$x(t) = C \cos(\omega t +\delta) +\frac{F_0}{2\omega m}t\sin (\omega t),$$

wobei

$$\omega = \sqrt{k/m},\qquad \tan\delta = \frac{-v_{x0}}{\omega x_0},\qquad C = \sqrt{x_0^2+v_{x0}^2/\omega^2}.$$

Hier ist $x_0$ die Position bei $t=0$ und $v_{x0}$ die Geschwindigkeit bei $t=0$.

$x$

$t$

$v_x$

$t$

$m=$ 1 [kg]

 

$F_0=$ 1 [N]

$k=$ 1 [N/m]

 

$x_0=$ 1 [m]

 

$v_{x0}=$ 1 [m/s]