Harmonische Bewegung

$$\large \vec{r}=A\cos(\omega t)\,\hat{n}.$$ $$\large \vec{v}=-\omega A\sin(\omega t)\,\hat{n}.$$ $$\large \vec{a}=-\omega^2 A\cos(\omega t)\,\hat{n} = -\omega^2 \vec{r}.$$ $$\large \vec{F}=-m\omega^2 A\cos(\omega t)\,\hat{n}= -m\omega^2 \vec{r}.$$

Weitere Details:

Harmonische Bewegungen sind jedwede Schwingungen, die proportional zu $\sin(\omega t)$ oder $\cos(\omega t)$ sind. Die Bewegung des blauen Balls wird durch den Positionsvektor,

$$\vec{r}=A\cos(\omega t)\,\hat{n},$$

beschrieben, wobei $A$ die Amplitude der Bewegung, $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit, und $\hat{n}$ der Einheitsvektor in Schwingungsrichtung ist. Die Periodendauer, d.h. die für eine Periode benötigte Zeit, ist $T=\frac{2\pi}{\omega}$. Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Positionsvektors nach der Zeit:

$$ \vec{v}=-\omega A\sin(\omega t)\,\hat{n}.$$

Die Beschleunigung ist die Ableitung des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit,

$$ \vec{a}=-\omega^2 A\cos(\omega t)\,\hat{n} = -\omega^2 \vec{r}.$$

Die Kraft ist Masse multipliziert mit der Beschleunigung, $\vec{F}=m\vec{a}$,

$$\vec{F}=-m\omega^2 A\cos(\omega t)\,\hat{n}= -m\omega^2 \vec{r}.$$

Die Kraft ist proportional zum Positionsvektor, $\vec{F}=-m\omega^2\vec{r}$. Die Form dieser Kraft entspricht der Kraft einer linearen Feder , $\vec{F}=-k\vec{r}$, so daß wir $k=m\omega^2$ identifizieren können. Ein Teilchen der Masse $m$ an einer linearen Feder mit der Federkonstante $k$ führt eine harmonische Bewegung mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$ aus.

Harmonische Bewegungen können numerisch mit der APP <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/numerical_integration/harmonic.de.php">Masse-Feder System</a> modelliert werden.






	Physik M 513.805 (511.015)