Ladungsdichte → Elektrisches Feld → Elektrostatisches Potential

Der allgemeine Ausdruck für den Zusammenhang zwischen der Ladungsdichte $\rho$, dem Elektrischen Feld $\vec{E}$, und dem elektrostatischen Potential $\varphi$ ist:

\[ \begin{equation} \vec{E}(\vec{r})=-\nabla \varphi(\vec{r}),\qquad \text{und}\qquad \nabla\cdot\vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho(\vec{r})}{\epsilon_r\epsilon_0}. \end{equation} \]

Hier ist $\epsilon_r$ die relative Permittivität und $\epsilon_0$ ist die elektrische Feldkonstante. Wenn die Ladungsdichte, das elektrische Feld und das elektrostatische Potential in $y-$ und $z-$Richtung konstant sind und sich nur in $x-$Richtung ändern, dann können diese Gleichungen folgendermaßen geschrieben werden,

$\rho(x),$

$E(x)=\int\limits_{x_1}^{x}\frac{\rho(x')}{\epsilon_r\epsilon_0}dx'+E(x_1), $

$\varphi(x) = -\int\limits_{x_1}^{x} E(x')dx'+\phi(x_1), $

$F(x) = qE(x)= q\int\limits_{x_1}^{x}\frac{\rho(x')}{\epsilon_r\epsilon_0}dx'+qE(x_1).$

Die letzte Gleichung ist die Kraft die auf ein Teilchen mit Ladung $q$ wirkt. Berechnungen dieser Art k�nnen mit der Numerische Integration und Differentiation App durchgeführt werden. Der Integrationsteil dieser App wurde unten hin kopiert, um die Berechnung des elektrischen Feldes und des elektrostatischen Potentials aus der Ladungsdichte durchzuführen.

$\large \frac{\rho(x)}{\epsilon_r\epsilon_0}=$  [V/m²]
im Bereich von $x_1=$  [m] bis $x_2=$  [m].

 $x$ [m]    $\large \frac{\rho(x)}{\epsilon_r\epsilon_0}$ [V/m²]

  

$\large \frac{\rho(x)}{\epsilon_r\epsilon_0}$ [V/m²]

$x$ [m]

Das elektrische Feld ist das Integral der Ladungsdichte,

$\large E(x)=\frac{1}{\epsilon_r\epsilon_0}\int\limits_{x_1}^{x}\rho(x')dx'+E(x_1)$.

$E(x_1)=$

Das Integral wird mit der Simpsonregel numerisch berechnet.

 $x$ [m]   $E(x)$ [V/m]

  

$E(x)$ [V/m]

$x$ [m]

Das elektrostatische Potential ist minus das Integral des elektrischen Feldes,

$\large \varphi(x) = -\int \limits_{x_1}^{x} E(x')dx' + \varphi(x_1).$

$\varphi(x_1)=$

 $x$ [m]    $\varphi(x)$ [V]

  

$\varphi$ [V]

$x$ [m]