Elektrostatisches Potential → Elektrisches Feld → Ladungsdichte

Der allgemeine Ausdruck für den Zusammenhang zwischen der Ladungsdichte $\rho$, dem Elektrischen Feld $\vec{E}$, und dem elektrostatischen Potential $\varphi$ ist:

\[ \begin{equation} \vec{E}(\vec{r})=-\nabla \varphi(\vec{r}),\qquad \text{und}\qquad \nabla\cdot\vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho(\vec{r})}{\epsilon_r\epsilon_0}. \end{equation} \]

Hier ist $\epsilon_r$ die relative Permittivität und $\epsilon_0$ ist die elektrische Feldkonstante. Wenn die Ladungsdichte, das elektrische Feld und das elektrostatische Potential in $y-$ und $z-$Richtung konstant sind und sich nur in $x-$Richtung ändern, dann können diese Gleichungen folgendermaßen geschrieben werden,

$\varphi(x), $

$E(x)= - \frac{d\varphi(x)}{dx}, $

$\rho(x) = -\epsilon_r\epsilon_0\frac{d^2\varphi(x)}{dx^2},$

$F(x) = qE(x)= - q\frac{d\varphi(x)}{dx}.$

Die letzte Gleichung ist die Kraft die auf ein Teilchen mit Ladung $q$ wirkt. Berechnungen dieser Art können mit der Numerische Integration und Differentiation App durchgeführt werden. Der Differentiationsteil dieser App wurde unten hin kopiert, um die Berechnung des elektrischen Feldes und der Ladungsdichte aus dem elektrostatischen Potential durchzuführen.

$\varphi(x)=$  [V]
im Bereich von $x_1=$  bis $x_2=$  [m]

 $x$ [m]  $\varphi(x)$ [V]

  

$\varphi(x)$ [V]

$x$ [m]

Das elektrische Feld wird numerisch berechnet durch,

$E=-\frac{d\varphi}{dx}\approx -\frac{\varphi(x+\Delta x)-\varphi(x)}{\Delta x}.$

 $x$ [m]  $E$ [V/m]

  

$E$ [V/m]

$x$ [m]

Die Ladungsdichte wird numerisch berechnet durch,

$\frac{\rho}{\epsilon_r\epsilon_0}= \frac{dE}{dx}\approx \frac{E(x+\Delta x)-E(x)}{\Delta x}.$

 $x$ [m]  $\frac{\rho}{\epsilon_r\epsilon_0}$ [V/m²]

  

$\frac{\rho}{\epsilon_r\epsilon_0}$ [V/m²]

$x$ [x]