Numerisches Lösen von Differentialgleichungen 2. Ordnung

Die Bewegung eines Objekts, welche nur in einer Dimension stattfindet, kann mithilfe der Position $x$ und der Geschwindigkeit $v_x$ des Objekts beschrieben werden. Ist die Kraft auf das Objekt bekannt, kann die Bewegung mit zwei Differentialgleichungen erster Ordnung beschrieben werden:

$\large \frac{dx}{dt}=v_x$ and $\large \frac{dv_x}{dt}=a_x = F_x(x,v_x,t)/m.$

Hier ist $F$ die Kraft, $m$ die Masse und $t$ die Zeit. Das folgende Formular kann benutzt werden, um diese Gleichungen numerisch mit einer Anzahl von Zeitschritten $N_{steps}$ der Weite $\Delta t$ zu integrieren. Die Beschleunigung $a_x$ kann als Funktion von $x$, $v_x$ und $t$ vorgegeben werden.

 Numerisches Lösen von Differentialgleichungen 2. Ordnung 

$ \large \frac{dx}{dt}=$

$v_x$

$ \large a_x = \frac{F_x}{m}=\frac{dv_x}{dt}=$

Anfangsbedingungen: 

$x(t_0)=$

 

$\Delta t=$

$v_x(t_0)=$

 

$N_{steps}$

$t_0=$

 

Graphische Darstellung:

vs.

 

= , =

 $t$       $x$      $v_x$

Die Idee der numerischen Integration ist, dass für bekannte Anfangsbedingungen $x(t_0)$ und $v_x(t_0)$ eine gute Schätzung für $x$ und $v_x$ eine kurze Zeit $\Delta t$ später ist:

$\large x(t_0+\Delta t) \approx \frac{dv_x}{dt}|_{t_0}\Delta t$ and $\large v_x(t_0+\Delta t) \approx F(x(t_0),v_x(t_0),t_0)\Delta t/m.$

Sobald Schätzungen für Position und Geschwindigkeit des Objekts zur Zeit $t_0 + \Delta t$ berechnet wurden, können diese benutzt werden, um die Position und Geschwindigkeit zur Zeit $t_0 + 2\Delta t$ zu bestimmen.

Im obigen Formular kann die Kraft mithilfe der mathematischen Standardfunktionen abs(x), acos(x), asin(x), atan(x), cos(x), exp(x), pi = 3.141592653589793, pow(x,y) = xy, round(x), sin(x), sqrt(x), and tan(x) angegeben werden. Beachten Sie, daß die Multiplikation mit einem '*' Symbol angegeben werden muss, also 3*cos(x) statt 3cos(x). Potenzen werden mit der 'pow' Funktion spezifiert: x² ist pow(x,2) statt x^2.

Die numerische Integration wird instabil, wenn der Zeitschritt zu lang wird. Der Zeitschritt sollte einen Faktor 10 bis 100 mal kleiner sein als jede berechnete, charakteristische Zeit der Bewegung. Wird der Orbit der Erde um die Sonne berechnet, dann ist ein Zeitschritt von 3 Tagen (ca. 4E6 Sekunden) angemessen. Wird die Bewegung eines Elektrons vorbei an einem Ion berechnet, ist ein Zeitschritt von 1 ps sinnvoll. Wird die Routine instabil, wird nichts graphisch dargestellt. In diesem Fall sollte die Berechnung mit einem kürzeren Zeitschritt versucht werden.

Es gibt viele Routinen, um eine numerische Integration vorzunehmen. Die oben beschriebene Methode nennt sich die Euler Methode. Konkret jedoch benutzt diese APP die genauere Runge-Kutta Methode vierter Ordnung mit fixer Schrittweite. Eine Routinen zur numerischen Integration berechnen den optimalen Zeitschritt automatisch.