Numerische Integration and Differentiation

In einem Experiment wird oft eine Größe als Funktion der Zeit gemessen. Beispielsweise kann durch das Filmen eines sich bewegenden Objektes die Position des Objektes in jedem Frame des Videos bestimmt werden. Mit einem Doppler Radar kann die Geschwindigkeit eines Objektes als Funktion der Zeit gemessen werden. Mittels des Beschleunigungssensors in einem Mobiltelephon kann die Beschleunigung als Funktion der Zeit aufgezeichnet werden. Wurde einer dieser Größen gemessen, können die anderen berechnet werden. Liegen die gemessenen Daten in tabellarischer Form vor, muß die Integration oder Differentiation numerisch vorgenommen werden.

Diese Seite enthält einige Funktionen zur numerischen Integration und Differentiation. Ein Funktion $f(t)$ kann spezifiziert werden durch (i) Eingabe eines Ausdrucks in das obige Feld oder durch (ii) Einfügen zweier Datenspalten in die Textbox oben links.
Bei Click auf den "Fill table" Button wird der eingegebene Ausdruck benutzt, um die Tabelle mit 1000 Werten $f(t)$ für äquidistante Argumente zwischen $t_1$ and $t_2$ zu befüllen.
Bei Click auf den "calculate from table" Button werden die Daten in einem Graph dargestellt (rechts).
Unter den Werten und dem Graphen von $f(t)$ werden die Werte der ersten, $\frac{df}{dt}$, und der zweiten Ableitung $\frac{d^2f}{dt^2}$ tabulliert und graphisch dargestellt. Unterhalb der Ableitungen wird das Integral von $f(t)$ sowie das Integral letzteren Integrals gezeigt. Die Routine zur Integration geht davon aus, daß die Meßdaten im Intervall $\Delta t$ äquidistant sind.

$f(t)=$ 
in the range from $t_0=$  to $t_1=$ .

 $t$   $f(t)$

 

  

$f(t)$

$t$

Die 1. Ableitung
Die Ableitung von $f(t)$ wird berechnet aus

$\Large \frac{df}{dt}\approx \frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}.$

 $t$   $\large \frac{df}{dt}$

  

$\large \frac{df}{dt}$

$t$

Die 2. Ableitung
Die 2. Ableitung $f(t)$ wird berechnet aus

$\Large \frac{d^2f}{dt^2}\approx \frac{\frac{df}{dt}(t+\Delta t)-\frac{df}{dt}(t)}{\Delta t}.$

 $t$   $\large \frac{d^2f}{dt^2}$

  

$\large \frac{d^2f}{dt^2}$

$t$

Das Integral von $f(t)$

$\large I_1(t)=\int\limits_{t_0}^{t} f(t')dt' +I_1(t_0)$,

wobei $I_1(t_0)$ die Integrationskonstante ist. Angenommen, $f(t)$ sei beispielsweise die Geschwindigkeit in $x$-Richtung, $v_x$. Die Position ist das Integral der Geschwindigkeit:

$\large x(t)= \int \limits_{t_0}^{t} v_x(t')dt' +x(t_0).$

In diesem Fall ist die Integrationskonstante die Anfangsposition $I_1(t_0) = x(t_0)$.

$I_1(t_0)=$

Das Integral von $f(t)$ wurde numerisch mit der sogenannten Simpson Methode berechnet.

$\large \int \limits_a^b f(t) dt \approx \frac{b-a}{6}\left(f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right).$

 $t$   $I_1(t)$

  

$I_1(t)$

$t$

Das Integral des Integrals von $f(t)$
Die Simpson Methode wurde ein zweites Mal benutzt, um das Integral des Integrals von $f(t)$.

$\large I_2(t) = \int \limits_{t_0}^{t} I_1(t')dt' + I_2(t_0).$

wobei $I_2(t_0)$ die Integrationskonstante ist. Angenommen, $f(t)$ sei beispielsweise die Beschleunigung in $x$-Richtung, $a_x$. Die Geschwindigkeit ist das Integral über die Beschleunigung,

$\large v_x(t)= \int \limits_{t_0}^{t} a_x(t')dt' +v_x(t_0),$

und die Position das Integral über die Geschwindigkeit,

$\large x(t)=\int \limits_{t_0}^{t} v_x(t')dt' +x(t_0).$

wobei $I_1(t_0)=v_x(t_0)$ und $I_2(t_0)=x(t_0)$ die Integrationskonstanten sind.

$I_2(t_0)=$

 $t$   $I_2(t)$

  

$I_2(t)$

$t$

Für Aufgaben zur Position, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Kraft

  • Haben Sie eine Tabelle mit Daten die die Position als Funktion der Zeit beschreiben:
    Fügen Sie die Daten in die obige Textbox ein und Click calculate. Die Geschwindigkeit ist die Ableitung; die Beschleunigung die zweite Ableitung; die Kraft ist die Masse multipliziert mit der Beschleunigung (benutzen Sie eine Tabelle um die Kraft zu berechnen). Ignorieren Sie die Integrale. Die Werte von $I_1(t_0)$ und $I_2(t_0)$ sind irrelevant.
  • Haben Sie eine Tabelle mit Daten die die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit beschreiben:
    Fügen Sie die Daten in die obige Textbox ein. Die Position ist das Integral über die Geschwindigkeit. Die Konstante $I_1(t_0)$ ist die Anfangsposition $I_1(t_0)=x(t_0)$. Die Beschleunigung ist die Ableitung; die Kraft ist die Masse multipliziert mit der Beschleunigung (benutzen Sie eine Tabelle um die Kraft zu berechnen). Ignorieren Sie das Integral des Integraleund die 2. Ableitung. Der Wert von $I_2(t_0)$ ist irrelevant.
  • Haben Sie eine Tabelle mit Daten die die Beschleunigung als Funktion der Zeit beschreiben:
    Fügen Sie die Daten in die obige Textbox ein. Die Geschwindigkeit ist das Integral über die Beschleunigung. Die Konstante $I_1(t_0)$ ist die Anfangsgeschwindigkeit $I_1(t_0)=v_x(t_0)$. Die Position ist das Integral über die Geschwindigkeit und somit das Integral des Integrals über die Beschleunigung. Die Konstante $I_2(t_0)$ ist die Anfangsposition $I_2(t_0)=x(t_0)$. die Kraft ist die Masse multipliziert mit der Beschleunigung (benutzen Sie eine Tabelle um die Kraft zu berechnen). Ignorieren Sie die Ableitungen.
  • Haben Sie eine Tabelle mit Daten die die Kraft als Funktion der Zeit beschreiben:
    Benutzen Sie eine Tabellenkalkulation, um die Kraft durch die Masse zu dividieren und so die Beschleunigung zu erhalten. Benutzen Sie die Beschleunigung, um die Geschwindigkeit und die Position zu berechnen.
  • Wenn die vorhanden Datenpunkte nicht mit gleichen Abständen in der Zeit verteilt sind, dann können Sie entweder lineare Interpolation oder kubische Splines verwenden, um Datenpunkte zu erzeugen, die mit gleichen Abständen verteilt sind.