 | Physik M 513.805 (511.015) |
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Kubische GleichungenEine kubische Gleichung hat die Form \begin{equation} ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. \end{equation}Die Determinante dieser Gleichung ist definiert als \begin{equation} \Delta = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2. \end{equation}Ist $\Delta > 0$, hat die Gleichung drei verschiedene reelle Lösungen (Nullstellen). Ist $\Delta =0$, treten mehrere, reelle Nullstellen auf. Ist $\Delta < 0$, gibt es eine reelle und zwei komplex konjugierte Nullstellen. An kritischen Punkten wird der Anstieg Null. Diese Punkte können durch Nullsetzen der Ableitung gefunden werden. \begin{equation} 3ax^2 + 2bx + c = 0. \end{equation}Ist $b^2 -3ac > 0$, befinden sich die kritischen Punkte an \begin{equation} x_{\text{crit}}= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-3ac}}{3a}, \end{equation}und stellen ein lokales Maximum und ein lokales Minimum dar. Ist $b^2 -3ac = 0$, gibt es einen kritischen Punkt an $x_{\text{crit}}=-\frac{b}{3a}$. Dieser kritische Punkt ist ein Wendepunkt. Ist $b^2 -3ac < 0$, treten keine kritischen Punkte auf. Das folgende Feld bestimmt die Nullstellen einer kubischen Gleichung. |